数值计算_特徵值与奇异值篇.ppt

數值計算特徵值與奇異值篇 陳鴻智 有關於本教材 數值計算是件很好玩的事，可以用很精簡的程式完成 並且可以將它用圖形的方式展示出來。 Matlab可以讓我們作到。 教材內容 數值計算介紹 試圖告訴你數值計算是件很棒的事 為啥需要數值計算? 工程需求— 資料探索分析 “透過觀察讓科學大幅進展”—牛頓 “數學就是要求嚴密、美感和結構” -- 高斯 歷史故事Matlab(MATrix LABoratory) 由 Cleve Moler 研發將EISPACK LINPACK包裝成一種容易操控的介面 1957: Moler到Caltech. 研究數值分析 1961:到史丹佛大學講演與 G. Forsythe 合作研究Laplacian eigenvalues. 1977: 第1版 Matlab; 2,000條Fortran語法程式碼 80 個函數 (現已超過 8000個函數 ) 1979: 在史丹佛與 Jack Little 相遇，開始將源碼轉換成C 1984: Mathworks 成立 Matlab與Mathworks現況 Matlab, Simulink, Stateflow Matlab 2009b 各種領域的運用 航太,國防, 電腦,通信, 測繪… Mathworks 公司 3,500 以上的大學使用,500,000以上的用戶,100以上國家使用 2008年收益: 3億美元以上. 2008員工: 2,000人以上 價錢: ~2,000$ (商務版價), ~100$ (學生版價) 誰需要? 研發單位 老師 實驗室軟體設備之一 Matlab 著重在演算法而不是程式語言探討 學生 批次處理檔案 不必再需要另外學其他的語言! 給你一個測試概念的好環境 把概念很快轉換成程式碼, 然後轉成 C或Java 等 易懂的視覺圖 應具備的課程知識 微積分 常微分方程 矩陣 計算機程式編寫經驗 特徵值與奇異值分解 起源：線性常微分系統。 由某個向量空間到自身的變換：Ax=λx。 特徵值-特徵向量方程式(A-λI)x=0，x?0， det(A-λI)=0。 AX=ΛX?A=XΛX-1(A矩陣的特徵值分解，可以通過分析對角陣Λ來研究A的性質，簡化研究的內容) B=T-1AT (相似變換，A與B相似，可以保持特徵值不變) 奇異值分解(SVD)：A=UΣVH(Σ：對角矩陣，UVH=I，目的是長度與角度不變，轉換後不會放大誤差) 例子 A=gallery(3) 特徵值：[U,D]=eig(A) 奇異值：[U,S,V]=svd(A) 請注意：特徵值與奇異值之間有重大區別 體驗：demo\egishow 對稱矩陣和Hermit矩陣 對稱矩陣：A=AT Hermit矩陣：A=AH(複數矩陣) 特點： 一個非負特徵值λ?0，奇異值σ=λ；對應的向量： u=v=x 一個負特徵值λ0，奇異值σ=|λ|；對應的向量： u=-v=x 特徵值的敏感度和精度 假設：矩陣A的特徵向量彼此線性無關 A=XΛX-1? Λ=XAX-1 Λ+δΛ=X(A+δA)X-1 δΛ=X-1δAX ||δΛ||=||X-1|| || X || ||δA||=k(X) ||δA|| MATLAB condest A=gallery(3);[X,lambda]=eig (A);condest(X) 左特徵向量 左特徵向量 特殊情形-λ是一個多重特徵值時 A=gallery(5) lambda=eig (A) gallery(5)的矩陣對應的特徵方程應滿足λ5=0，試看看計算的結果如何? 特徵值所的誤差是由擾動所造成的 A = gallery(5) e = eig(A) plot(real(e),imag(e),r*,0,0,ko) axis(.1*[-1 1 -1 1]) axis square 擾動後的結果為 e = eig(A + eps*randn(5,5).*A) 計算出來的特徵值實際上是矩陣A+E的準確 特徵值，其中E的元素和A的元素相比，在捨 入誤差的量級上。 奇異值的敏感度和精度 A = gallery(5) format long e svd(A) 1.010353607103610e+005?最大奇異值(比A最大元素93365大