平面曲线的弧长与曲率graphicsxmu.pptVIP

返回 后页 前页 定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示: §3 平面曲线的弧长与曲率 本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计 算公式. 一、平面曲线的弧长 返回 定义2 设平面曲线 C 由参数方程 曲线, 则 C 是可求长的, 且弧长为 定理10.1 (光滑曲线弧长公式) 设曲线 C 由参数方 若C为一光滑 于是 证 因此 由第一章§1习题 6 可知 于是, 即 从而 因此当 f 在 [a, b] 上连续可微时, 示,则 C 又可看作 注1 若曲线 C 由直角坐标方程 表示,则 C 亦可看作 注2 若曲线 C 由极坐标方程 由于 解 例1 a 例 2 解 解 段弧长. 例3 在光滑曲线 上, 弧段 与 的长度相差不 *二、平面曲线的曲率 曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示, 多而弯曲程度却很不一样. 转过的角度 要大得多 比动点从Q 移到 R 时切线. 到Q 时, 切线转过的角度 这反映动点沿曲线从P 移 设 表示曲线在点 处切线的倾角, 表示动点由 P 沿曲线移至 时切线倾角的增量.若 之长为 ,则称 为弧段 的平均曲率.如果存在有限极限 则称此极限 K 为曲线 C 在点 P 的曲率. 由于曲线光滑,故总有 可得