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* * 统一波浪模型 (UWM) — 挑战传统观念 廖世俊 海洋工程国家重点实验室 2013年12月21日 非线性力学国家重点实验室年会 报告摘要 研究动机 统一波浪模型 光滑波浪与尖峰孤立波之统一 有限水深尖峰孤立波之独特性质 畸形波的一种新理论解释 结论和展望 (1) 研究动机 传统的深水波模型和浅水波模型均为精确波浪方程之特例，他们都可以给出光滑的、无限可微的波面。 (a) 浅水波：周期波、孤立波 KdV方程，Boussinesq方程，BBM方程 光滑孤立波： (b) 有限水深波：椭圆余弦波 精确的波浪方程 (1) 研究动机 传统光滑波浪之性质 波面、流速处处光滑、无限可微 从自由液面到底部，微团速度呈指数衰减 波高越大，波速越大（dispersive wave） (1) 研究动机 1. 1993年 Camass 和 Holm 在 Physical Review Letters 上发表浅水波模型 : 首次导出不光滑的尖峰（peaked）孤立波 并引发不光滑尖峰孤立波研究的热潮 2. In 1999, Kraenkel, R.A. Zenchuk, A. ( J. Phys. A., 32:4733) found the cusped solitary waves., whose 1st-derivative tends to infinity at crest. (1) 研究动机 所有这些尖峰孤立波，都是由近似的浅水波浪模型导出 至今没有从精确波浪方程中导出有限水深中的尖峰孤立波。 这导致疑问：他们理论上是否合理？ 尖峰孤立波除波峰处不光滑外，还有其他独特性质吗？例如：流体微团速度、动能在垂向之分布？ Relationship between peaked/cusped solitary waves has never been reported. Peaked 孤立波与 cusped 孤立波有何联系？ (2) 统一波浪模型 （1）假设在半无限域 上，流体是理想、不可压，流动是无旋的，表面张力可忽略，因此可采用精确波浪方程描述： 控制方程： 自由面条件： 底部条件： 左边界条件： 右边界条件： 周期波： 孤立波： *** 统一波浪模型容许波峰处（ x = 0 ）有旋！ (2) 统一波浪模型 （2）对称性： 将解扩展到整个流域 （3）由对称性条件，导出限制条件： (3)光滑波浪与尖峰孤立波之统一 半无限区域内的拉普拉斯方程： 具有两种（满足底部边界条件）的解： （1）传统的光滑基函数 传统的光滑波浪 （2）非光滑基函数 全新的尖峰孤立波 (3)光滑波浪与尖峰孤立波之统一 （A）光滑波浪（势函数）之基函数 自动满足对称性条件 和限制性条件： 因此，在半无限域 内得到的所有结果，自动地在整个无穷域内 存立！ 结论：统一波浪模型可以给出有限水深中的 椭圆余弦波等所有的传统光滑波浪 (3)光滑波浪与尖峰孤立波之统一 （B）非光滑波浪（势函数）之基函数 即不能自动满足对称性条件 也不能自动满足限制性条件： 因此，在半无限域 内得到的所有结果，必须用对称性条件扩展到在整个无穷域内 而且，限制性条件 必须强制满足。 (3)光滑波浪与尖峰孤立波之统一 有限水深尖峰孤立波之线性解 速度势： 波速： 给定无因次波速，上述方程有无穷多个解： (3)光滑波浪与尖峰孤