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第6章 数值积分与数值微分 刘东毅 天津大学理学院数学系 第6章 数值积分与数值微分 主要目的： 讨论数值积分的基本理论与方法 代数精度的概念 数值稳定性 插值型数值积分的思想 复化求积方法的思想 变步长的求积方法 Guass 求积公式 讨论求数值微分的各种方法 主要内容: 数值积分公式及其代数精度 插值型数值积分公式 与 Newton-Cotes 公式 复化求积法 变步长的梯形公式 与 Romberg 算法 Guass 求积公式 数值微分 6.1 数值积分公式及其代数精度 1.数值积分公式的定义： 2.数值积分公式的代数精度 例6.1.1. 确定下列数值积分公式 6.2 插值型数值积分公式与 Newton-Cotes 公式 插值型数值积分公式 设 f (x) 在插值节点 a ≤ x0 x1 . . . xn ≤ b 处的函数值为f (xk) (k = 0 , 1 , . . . , n ) ,作 n 次 Lagrange 插值多项式 定义6.2.1 对于数值积分公式 (6.1.2) 2. Newton-Cotes公式 n = 1~8 的Cotes系数 Newton-Cotes公式的余项 下面证明基本梯形公式的余项，另外两个类似。 根据插值型数值积分的余项公式 Newton-Cotes公式数值稳定性 什么是数值稳定性？ 令 利用 Newton-Cotes 公式求解, 由此引起的计算结果的绝对误差为 6.3 复化求积法 1.几个常用的复化求积法 复化 Cotes 公式 例如复化梯形公式: 因为f (x)黎曼可积，所以将积分区间n等分, 在子区间[xk , xk+1]上选取xk计算函数值, 则有 例6.3.1 利用复化梯形公式和simpson公式计算 ，为使误差不超过10-5，需要将各分为多少等份，由此可得出什么结论？ 例6.3.2 利用复化求积公式计算积分 6.4 变步长的梯形公式与Romberg算法 1.变步长的梯形公式 复化求积公式称为定步长的求积公式，它对提高精度是行之有效的。但对于给定的精度，要确定一个合适的步长往往难以办到。因此实际上一般常采用变步长的求积公式。即让步长逐次折半的过程中，反复使用复化求积公式进行计算，直到相邻两次计算结果之差的绝对值小于允许精度ε的要求时终止计算，这种方法称为变步长的求积方法。 例如: 对于积分 变步长的梯形公式的算法 2. Richardson外推算法 3. Romberg 算法 当 m = 3 时 , Romberg 算法的计算过程 复化梯形公式的推导 (2) 将区间 [ 0, 1] 4等分, 步长 采用复化 Simpson 公式计算, 仍然利用原来 9 个分点处的函数值, 求得 这两种方法计算量基本相同, 但所得到的结果与真值π= 3.1415926 ... 比较可以看出复化 Simpson 公式求得的结果要精确得多. 采用变步长的梯形公式进行计算. 将区间 [ a , b] n 等分 , 步长 , 按复化梯形公式 计算时, 需调用 n +1 个函数值。 现在将 h 折半, 再将上述每个区间 [ xk , xk+1 ] 对分一次, 分点增至 2n + 1 个, 设上述小子区间的中点为 在[ xk , xk+1 ] 上用复化梯形公式并求和得 上式称为变步长的梯形公式. 即在求 T2n 时, 可以利用前面已求出的结果Tn , 剩下的仅仅需要求出 n 个新分点处的函数值. 注意：h = xk+1-xk Step 1. 给定精度 ? 0，m为正整数，步长h =(b - a)/2m。 即将积分区间分割成2m等份。 Step 2. 计算 这里 Step 3. 计算 这里 将每一个小子区间二等分，即步长折半。 Step 4. 如果 ，则停止，输出值 , 否则，置 m = m+1，h : = h/2 ，转到Step 3。 例6.4.1 用变步长的梯形公式计算积分 解: 对于 , 定义 f (0) = 1, 首先在区间 [0 , 1] 上用梯形公式（即步长 h = 1）,求得 将 [0 , 1] 对分, 它的中点函数值 , 则有 如果 不成立，则 h := h/2 = 1/2 ，计算 （精确到10-6） 如此继续下去, 计算结果如下表 如果 不成立，则 h := h/2 = 1/4 ， 继续计算 。 k k T 2k T 2k 0 1