数学与应用数学专业任选课程教学大纲西北师范大学.doc

数学与应用数学专业任选课程教学大纲 高等几何 一、说明 （一）课程性质 任选 （二）教学目的 高等几何是高师数学系（科）必修的一门基础课，它是继初等几何，解析几何之后的一门几何课程，本课程与其它基础学科无论在横向和纵向上都有着密切的联系，尤其是它与中学数学各科有直接的指导作用。掌握了高等几何的理论和方法，在分析问题的逻辑性，认识问题的深入性和解决问题方法的简捷多样性等方面都会有很大提高，使中学数学教师能居高临下深入掌握中学数学内容，具备应有的水平和素质。 （三）教学内容 本课程重点介绍一维和二维射影几何和仿射几何的基本内容。使学生对射影几何和仿射几何有初步、直观、具体的认识，在他们进一步学习抽象的高维射影几何和仿射几何理论时，脑子里有具体的模型。 （四）教学时数 54学时 讲授 二、本文 第一章 仿射坐标和仿射变换 目的要求：本章是作为从欧氏几何到射影几何的过渡为以后学习射影几何作好准备。 计划课时数：8学时 教学内容： 第一节 透视仿射对应（2学时） 第二节 仿射对应与仿射变换（2学时） 第三节 仿射坐标（2学时） 仿射坐标系、仿射变换的代数表示，几种特殊的仿射变换 第四节 仿射性质（2学时） 第二章 射影平面 目的要求： 1、理解拓广欧氏平面的必要性，掌握射影平面仿射平面的概念及与欧氏平面的区别和联系。 2、掌握直线的坐标和点方程的概念，并会利用它们解决图形的有关问题。 3、掌握射影平面上的对偶原则，对偶命题和对偶图形。 4、熟悉Desargues透视定理，且运用其证明初等几何的有关命题。 教学时数：12学时 教学内容： 第一节 射影平面（4学时） 欧氏平面的拓广，中心射影的概念，无穷远元素的引入及其性质，图形的射影性质（理解），Desargues透视定理及其应用。 第二节 齐次坐标（4学时） 齐次点坐标、齐次线坐标，有关点与线结合性命题。 第三节 对偶原理（2学时） 射影平面上的对偶命题、对偶图形、对偶原理 第四节 复元素（2学时） 第三章 射影变换与射影坐标 目的要求： 1）交比是基本的射影不变量，其定义、性质、求法及其特殊情况，调和比都应熟练掌握，并能举例说交比在解决一些初等几何中的作用。 2）应用射影对应成为透视的条件，可以证明初等几何的一些有关问题，对此应予充分注意，以体现用射影几何的观点解决这些问题的优越性。 3）应注意掌握初等几何里，常见的变换与射影变换的关系。 教学时数：12学时 教学内容： 第一节 交比与调和比（4学时） 共线四点和共点四线交比的定义，性质和求法；调和比、完全四点形和完全四线形的调和性质。 第二节 一维射影变换（4学时） 一维基本形的透视对应，射影对应射影变换 第三节 一维射影坐标（2学时） 第四节 二维射影变换与二维射影坐标（2学时） 二维射影对应、坐标及二维射影对应的坐标表示。 第四章 变换群与几何学 目的要求： 1）掌握变换群的概念 2）理解几何学的群论观点 3）明确射影几何、仿射几何、欧氏几何三种几何学的关系及其各自研究的对象，提高对中学几何内容的认识。 计划课时数：4学时 教学内容： 第一节 变换群（2学时） 变换群 平面上几个重要的变换群 第二节 变换群与几何学（2学时） 克莱因(F. klein)的变换群观点、射影、仿射和欧氏三种几何学的比较。 第五章 二次曲线的射影理论 目的要求： 1）掌握二阶曲线和二级曲线的定义及其关系 2）掌握巴斯加定理和布利安桑定理及其特殊情况，并会利用其解决二次曲线的有关证明问题和作图问题。 3）掌握极点、极线的定义及其性质，会求一点关于二阶曲线的极线方程和一直线关于曲线的极点坐标。 4）理解二次曲线的射影分类，了解射影分类与变量分类的主要异同，从而加深对二次曲线射影性质的认识。 计划课时数：8学时 教学内容： 第一节 二次曲线的射影定义（2学时） 二次曲线的射影定义、二阶曲线与二级曲线的关系 第二节 Pascal和Brianchou定理（2学时） 第三节 极点和极线，配极原则（2学时） 二阶曲线的极点与极线的定义、求法、配极原则及其应用、二阶曲线的切线。 第四节 二阶曲线的射影分类（2学时） 二阶曲线的奇异点、射影分类 第六章 二次曲线的仿射性质和度量性质 目的要求： 1）理解仿射变换与射影变换的区别和联系 2）掌握二次曲线的仿射性质 3）了解仿射分类与射影分类的区别 4）理解二次曲线的度量性、不变量及其度量分类 计划课时数：10学时 教学内容： 第一节 二次曲线与无穷远直线的相关位置（1学时） 第二节 二次曲线的仿射性质（3学时） 二次曲线中心的定义和求法，直径与共轭直径的定义和求法，二直径成共轭的条件，渐近线 第三节