2018版高中数学人教B版必修五课件2习题课 数列求和.pptx

第二章——数列习题课　数列求和[学习目标]1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破当堂检测 当堂训练，体验成功3[预习导引]1.基本求和公式(1)等差数列的前n项和公式：(2)等比数列前n项和公式：当q＝1时，Sn＝ ；当q≠1时，na12.数列{an}的an与Sn的关系数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则3.拆项成差求和经常用到下列拆项公式要点一　分组分解求和当x＝±1时，Sn＝4n.规律方法　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和.跟踪演练1　求数列{an}：1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0).解得a1＝3，d＝－1，故an＝3－(n－1)＝4－n.要点二　错位相减法求和例2　已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn.解　由(1)知，bn＝n·qn－1，于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1，若q≠1，上式两边同乘以q.qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn，两式相减得：(1－q)Sn＝1＋q1＋q2＋…＋qn－1－n·qn 规律方法　用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.跟踪演练2　数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N＋).(1)求数列{an}的通项an；解　∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝2Sn，∴Sn＋1＝3Sn.又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列.∴Sn＝3n－1(n∈N＋).当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2，且a1＝1，(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解　Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，当n＝1时，T1＝1；当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2， ①∴3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1， ②①－②得－2Tn＝2＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1又∵T1＝a1＝1也满足上式，规律方法　如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和法.要点三　裂项相消求和要点四　奇偶并项求和例4　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1).解　当n为奇数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·＋(－2n＋1)＝－n.当n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.∴Sn＝(－1)n·n(n∈N＋).跟踪演练4　已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.解　n为偶数时，令n＝2k(k∈N＋)，Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k(6k－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]＝3k＝ n；当n为奇数时，令n＝2k＋1(k∈N＋).12341.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝ ，则S5等于(　)BA123412343.数列{an}的通项公式an＝ ，若前n项的和为10，则项数为(　)A.11 B.99 C.120 D.121C1234(－2)n－1故an＝(－2)n－1.课堂小结求数列前n项和，一般有下列几种方法.1.错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.2.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.3.拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.4.奇偶并项：当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论.5.倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法.Sn＝＝.Sn＝＝na1＋d.an＝(1)＝－.(2)＝(－).(3)＝－.解　当x≠±1时，Sn＝(x＋)2＋(x2＋)2＋…＋(xn＋)2＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋(＋＋…＋)例1　求和：Sn＝(x＋)2＋(x2＋)2＋…＋(xn＋)2.＝(x2＋2＋)＋(x4＋2＋)＋…＋(x