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机械优化设计作业 第一优化设计课后练习 第一章 机械优化的基本概念与数学模型 1-1.优化设计问题的数学模型是由哪几部分组成的？其一般表达形式是什么？ 答：由三部分组成：设计变量、约束条件和目标函数。 优化设计一般表达形式是： Find 设计变量 min 目标函数 s．t． 约束条件 约束条件 式中： 1-2．建立优化设计问题数学模型的一般步骤及其需要注意的问题是什么？ 答：建立优化设计问题数学模型的一般步骤为： （1）选取设计变量 （2）建立目标函数 （3）确定约束条件 其注意事项： （1）设计变量 在设计过程中选择的设计变量必须都是独立变量，有明显依赖关系；设计变量的选取与优化层次及优化问题的提法有关；设计变量的数目要适当；设计变量有显著且能直接调整控制参数。 （2）约束条件 周密分析、合理确定约束条件，从客观实际出发，且能表为设计变量的约束函数的限制确定为约束；各约束条件应当是独立而不矛盾；要特别注意那些对优化效果确有影响，确有限制作用的约束，应注意它们是否可以适当放松以达更好优化效果。 （3）目标函数 目标函数可能是多种，具体选哪个取决于对设计的具体要求和客观条件；根据工程实际选定最重要的为优化目标；考虑当前设计方案的实际情况；同时应考虑该指标是否容易给出数学表达式，常常以多目标优化使用更符合实际。 1-3.优化设计问题的求解方法有哪几类？迭代法的基本思想及特点是什么？ 答：优化设计问题的求解方法分为两大类：简单优化问题的求解和数值迭代法。 （1）简单优化问题的求解方法： a、解析法：适用于形式简单、容易求导，可直接写出数学模型显式表达式的、不带或仅带简单等式约束的优化问题，可通过高等数学的极值条件解方程求解。 b、图解法：N≤２维情况，通过作图求解，简单直观。 （2）数值迭代法—— 现代优化设计的基本方法 a、数学规划法：根据函数及其导数的局部性态决定迭代方向和步长。 迭代通式： b、准则法：多用于结构优化－复杂结构优化（隐函数）。 迭代通式为 ( 未必收敛 ) ② 迭代法的基本思想：根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数下降的方向，“步步逼近”，“步步下降”或“步步登高”，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近或直至达到目标函数的最优点。 迭代法的特点：具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；最后得出的是逼近精确解的近似解。 1-4.欲造容积为V的长方形无盖水箱，如何选定其长、宽、高，才能使用料最少，写出数学模型。 解：选取长(l)，宽(d)，高(h)为设计变量: 设计目标：用料最省 约束条件 数学模型为： Find min s.t． 第二章 优化设计的最优性条件 2-1.梯度与海森阵的表达与意义是什么？梯度与方向导有何关系？ 答：(1)梯度的表达：为一个N维列阵 意义：它是目标函数?(X)对各个设计变量的一阶偏导数所组成的列向量，方向就是函数变化率最大的方向，用来研究多元函数沿各坐标方向的变化率。 (2)海森阵的表达：为二阶导数 海森阵是多元函数关于诸设计变量的二阶导数矩阵，是对称方阵。 （3）梯度与方向导数的关系：多元函数在某方向上的方向导数是梯度在该方向上的投影。 2-2、求几种特殊函数的梯度与海森阵： 线性函数：；二次型函数：；一般二次函数： 解：（1）、线性函数： 设，则 所以 故： 因为，所以海森阵H（X）=0 （2）、二次型函数： 设：为对称阵 则海森阵为： （3）一般二次函数： 由上题结果，设A为对称阵， 则梯度为 ：， 海森阵为 ： 2-3、多元函数的无约束极值、等式约束极值及不等式约束极值的必要条件的具体形式是什么？充分条件是什么？ 答：（一）多元函数的无约束极值的必要条件是：设多元函数在处有一阶及二阶连续偏导数 （1）必要条件：=0 （2）充分条件： =0 H（X*）为正定或者是负定，即二阶导海森阵正定或者负定，即对任何非零N维向量Y有，正定时有极小值，负定时有极大值。 （二）多元函数的等式约束极值必要条件为 Largrange 条件： 在极值点X*，满足1），2），3）三个条件： 1）． 2）． 3）．正则条件；要求 秩为J。 充分条件：在Largrange 条件基础上，满足目标函数的高阶条件与凸规划等