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第2章 范数理论及其应用 2.1向量范数及lp范数 定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值||x||，它满足以下三个条件： 1)非负性： ||x||(0,且||x||=0( x=0; 2)齐次性：||k(x||=|k|(||x||， k(K； 3)三角不等式：||x+y||(||x||+||y||. 则称||x||为V上向量x的范数，简称为向量范数。 可以看出范数||(||为将V映射为非负数的函数。 注意：2)中|k|当K为实数时为绝对值， 当K为复数域时为复数的模。 虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何n维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n维复(或实)列向量空间， 因此下面我们仅仅讨论n维复(或实) 列向量空间就足够了。 下面讨论如下： 1.设||(||为线性空间Vn的范数，任取它的一个基x1,x2,…,xn,则对于任意向量x,它可以表示为 x=(1x1+(2x2+…+(nxn其中，((1,(2,…,(n)T为x的坐标。 由此定义Cn(或Rn)中的范数如下：||(||C =((()=||(1x1+(2x2+…+(nxn||则容易验证||(||C确实为Cn中的范数. 2.反之, 若||(||C为Cn中的范数，定义Vn的范数如下： ||x||=((x)=||(||C其中x=(1x1+(2x2+…+(nxn。 则容易验证 ((x)确实为Vn的范数。 这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维复(或实)列向量空间的范数之间的关系。这也是为我们只讨论n维复(或实)列向量空间的范数的理由. 范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。 范数与函数 性质1. 范数是凸函数，即 || (1(()x+(y||((1(()||x||+(||y||其中 0( ( ( 1。向量的范数类似于向量长度。 性质2. (范数的乘法)若||(||为线性空间V上的向量范数，则k||(|| 仍然为向量范数, 其中k 0. 性质3. 设||(||comp为Rm上的范数，且对x( (R+)m为单调增加的(即,若x,y((R+)m,且xi(yi,那么||x||comp(||y|| comp成立.),那么，对于给定的m个n维线性空间V上的范数||(||i,i=1,2,…,m,我们可以定义一个复合范数为 ||x||=||U(x)|| comp ,其中，U(x)=( ||x||1,||x||2, …,||x||m)T. 证明：非负性和齐次性是显然的，仅需证明三角不等式。 ||x+y||=|| U(x+y)|| comp (||U(x)+U(y)|| comp(U(x+y) (U(x)+U(y))(||U(x)|| comp+|| U(y)|| comp=||x||+|| y|| 例如. 若||(||f和||(||g为线性空间V上的两个向量范数，则 (1). ||(||f + ||(||g 为V上向量范数。 (2). max{ ||(||f , ||(||g } 为V上向量范数。 (3) [(||(||f )2 + (||(||g)2]1/2为V上向量范数。 性质4. (范数的合成)设n维线性空间V= V1(V2(…(Vm,且||(||i,i=1,2,…,m,为线性子空间Vi上的范数，而||(||comp为Rm上的范数，且对x( (R+)m为单调增加的(即,若x,y((R+)m,且xi(yi,那么||x||comp(||y|| comp成立.),则对任意x(V,存在唯一的分解 x=x1+x2+…+xm 其中xi(Vi,这时定义x的范数为||x||=||U(x)||comp, 其中，U(x)=( ||x1||1,||x2||2, …,||xm||m)T. 证明类似于性质3.(略) 定义: 线性空间V的闭凸集(若满足,x((,则((x((,其中|(|(1，那么(为均衡闭凸集。 性质5. (范数与凸集,又称为范数的几何性质) 若||(||为线性空间V上的向量范数，集合(={x: ||x||( 1}为V上均衡闭凸集。反之，若(为V上的均衡闭凸集，且(含有内点，即包含一个小的单位球。则可以定义函数P(x)如下：当x(0时，P(x)= min {( 0:x/((( }当x=0时，P(x)=0.则P(x)为V上的范数。 证明：1). 显然 P(x) ( 0, 且P(0)=0. 下面我们证明若P(x)=0, 则x=0; 用反证法， 设x(0， 则由P(x)的定义，任给(P(x)=0, 则有x/(((。 因为(为有界集。 即存在常数M0 使得 对任意y((, ||y||(M. 其中 ||(||为某一给定的范数。 令y=x/(,则得到||x/(||(M,即