高数补充题答案重积分.docVIP

第九章 重积分 §9－1 1．估计积分的值，其中 解：在区域D上，有 区域D的面积 由估值定理得： 2．比较积分与的大小，其中D由所围. 解：区域D可以表示为： 则在区域D上有：从而，在D上成立. 3．则 解：区域D是半径为R，圆心在原点的四分之一圆域. 由已知，D的面积为： 4．下列式子是否成立? 为什么? (1), . 解：成立。因为区域D关于轴对称，被积函数关于是奇函数，所以积分值为0。 (2) , , . 解：不成立。因为区域D关于轴对称，被积函数关于是奇函数，积分值应为0。 §9－2 1． 解：积分区域 把D视作X-型区域，则 于是， 2． 解：将D视为X-型区域： 3． 解：由已知，在极坐标系中，积分区域D: 则在直角坐标系中，积分区域D： 4．求，由所围. 解：积分区域D可视作X-型区域： 5．计算 解：在极坐标系中，积分区域D可以表示为： 那么， 6．证明 , 其中 为连续函数. 证明：（1）时显然成立； （2）不妨设，依题意，积分区域为. 交换左侧积分顺序, 则 §9－3 1．计算，其中是由平面,,及围成的立体． 解：将投影在面上得投影区域： 过作平行于轴的直线，该直线从进入内，由从穿出. 则可以表示为： 于是， . 2．，由所围. 解：（先二后一）将投影在轴上得投影区间取，过作平行 于面的平面，该平面与的交面记为则 于是， 注：“先一后二”也可以解本题（采用柱坐标计算量较小） 3．计算，其中为及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域. 解：令 则可以表示为： 于是，有 注：本题用柱坐标或者直角坐标也可以求解。