2005数一数三考研数学真题及解析.docVIP

2005年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上.) (1)极限= . (2)微分方程满足初始条件的特解为 . (3)设二元函数,则 . (4)设行向量组,,,线性相关,且,则= . (5)从数中任取一个数,记为,再从中任取一个数,记为,则 ______. (6)设二维随机变量的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 1 0.1 若随机事件与相互独立,则= ,= . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每题小给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (7)当取下列哪个值时,函数恰好有两个不同的零点. (A) . (B) . (C) . (D) . (8)设,,,其中 ,则 (A) . (B) . (C) . (D) . (9)设若发散,收敛,则下列结论正确的是 (A) 收敛,发散. (B) 收敛,发散. (C) 收敛. (D) 收敛. (10)设,下列命题中正确的是 (A) 是极大值,是极小值. (B) 是极小值,是极大值. (C) 是极大值,也是极大值. (D) 是极小值,也是极小值. (11)以下四个命题中,正确的是. (A) 若在(0,1)内连续,则在(0,1)内有界. (B) 若在(0,1)内连续,则在(0,1)内有界. (C) 若在(0,1)内有界,则在(0,1)内有界 (D) 若在(0,1)内有界,则在(0,1)内有界. (12)设矩阵=满足,其中是的伴随矩阵,为的转置矩阵.若为三个相等的正数,则为 (A) . (B) . (C) . (D) . (13)设是矩阵的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,线性无关的充分必要条件是 (A) . (B) . (C) . (D) . (14)设一批零件的长度服从正态分布,其中均未知.现从中随机抽取16个零件,测得样本均值,样本标准差,则的置信度为0.90的置信区间是 (A) (B) (C) (D) 三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分8分) 求 (16)(本题满分8分) 设具有二阶连续导数,且,求 (17)(本题满分9分) 计算二重积分,其中. (18)(本题满分9分) 求幂级数在区间内的和函数. (19)(本题满分8分) 设在上的导数连续,且,,.证明:对任何,有 (20)(本题满分13分) 已知齐次线性方程组 (i) 和 (ii) 同解,求的值. (21)(本题满分13分) 设为正定矩阵,其中分别为阶,阶对称矩阵,为矩阵. (I)计算,其中; (II)利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵,并证明你的结论. (22)(本题满分13分) 设二维随机变量的概率密度为 求:(I)的边缘概率密度; (II)的概率密度; (III) (23)(本题满分13分) 设为来自总体的简单随机样本,其样本均值为,记 (I)求的方差; (II)求与的协方差; (III)若是的无偏估计量,求常数. 2005年考研数学三试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析】 令,因,故 原式. (2)【分析】 注意微分方程,积分即得,故微分方程的通解是,利用初始条件可确定常数,于是所求特解为. (3)【分析】 利用全微分的四则运算法则与一阶全微分形式不变性直接计算,得 于是 . (4)【分析】 个维向量线性相关.根据题设有 . 由于题设规定,所以. (5)【分析】 由于事件是一个完备事件组,且 ,.条件概率,根据全概率公式 . (6)【分析】 从,可知. 从事件与相互独立,有 . 依题意 , 解方程组 得. 二、选择题 (7)【分析】 令函数,由,可得函数恰有两个驻点与,利用即知,分别是函数的唯一极大值与极小值,且函数的单调性如下表: + - + 从 极大值 极小值 到 由此可见曲线与水平直线恰有两个不同的交点,即当时,函数恰有两个不同的零点,故应选(B). (8)【分析】 在积分区域 上有 , 且等号仅在区域的边界上成立.从而在积分区域上有 , 且等号也仅仅在区域的边界上成立.此外,三个被积函数又都在区域上连续,按二重积分的性质即得,故应选(A). (9)【分析】 注意,级数是把收敛级数各项不变顺序且相邻两项合并为一项构成的新级数,由收敛级数的性质知该级数必收敛,故应选(D). (10)【分析】 注意函数在区间上