高等代数§1.3整除的概念.pptVIP

§1.3 整除的概念 一、整除 1．定义 定义1 设 若存在 使得 则称 整除 记作 ① 时， 称 为 的因式， 为 的倍式． ② 不能整除 时记作： 当 时， 如果 则 除 所得的商可表成 注： 例1 1) x+1|x2-1? 2) x2 – 1|x+1? 例2 2|3? 例3 设 问 例4 设f (x)≠0, 问1) f (x) | 0? 2) 0 | f (x)? 2、性质 性质1 设 则 (1) 自反性 f(x) | f(x); (2) 传递性 若f (x) | g(x), g(x) | h(x), 则f (x) | h(x); (3) 相伴性 若 且 ，则存在 ，使得 注：若 且 ，则称 与 相伴。 性质2 设 ,则对任意 ，有 推论1 若 且 则 二、带余除法 定理1 设 且 则 存在 使得 成立，其中 或 并且这样的 是唯一决定的。 1、带余除法 称 　　为 　 除　　的商，　 为　　除　　 的余式。 ① 若 则令 结论成立． ② 若 设 的次数分别为 证： 当 时， 结论成立． 显然取 即有 下面讨论　　　的情形， 假设对次数小于n的 ， 结论已成立． 先证存在性． 对 作数学归纳法． 次数为0时结论显然成立． 设　　 的首项为 的首项为 则 与 首项相同， 因而，多项式 若 令 即可． 若 由归纳假设，存在 使得 现在来看次数为n的情形． 的次数小于n或 为0． 其中 或者 于是 即有 使 成立． 的存在性得证． 由归纳法原理，对 再证唯一性． 若同时有 其中 其中 和 则　 即 但 矛盾． 所以 从而 唯一性得证． 推论2 设 且 则 整除的判定 例1 设 除 的商式为 余式为 求 除 的商式与余式。 例2 用 除 ，求商式与余式，其中 2、综合除法 ＋) 的商式 和余式 可按下列计算格式求得： 这里， 若 则 除 例3 求　　 除　　 的商式和余式 去除 ① 求一次多项式 的商式及余式． ② 把 表成 的方幂和，即表成 的形式． 说明： 综合除法一般用于 １ 4 １ 解: ∵ 1　 ０　　０　　０　　０　　０ 例4 　把 表成 的方幂和． １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= １ 2 3 2 3 4 5= １ １ １ 1 3 6 １ 3 6 1 4 １ 4 1 1 10= 5= 10= 3、带余除法与数域扩大的关系 性质3 带余除法与数域扩大无关。 即，设 是数域且 由带余除法， 使得 则 且 推论3 整除关系不因数域扩大改变。