高等数学A-1试卷A卷解答(11.01).docVIP

南京工业大学高等数学A-1试卷解答（江浦A卷、闭） 2010-2011学年第一学期 一、选择题（每小题3分, 共15分） 1、 2、 3、 4、 5、 二、填空题（每空3分, 共15分,把答案填在题中横线上） 1、 2、 3、 4、 5、 三、试解下列各题(本大题共4个小题，每题6分，计24分，解答写出推理、演算步骤) 1、求极限。 解：原式 ……3分 ==1 ……6分 2、求极限。 解: ……2分 = ……4分 = ……6分 3、设函数确定，求。 解：因，所以 ……3分 ，故 ……6分 4、设函数连续，且满足，求。 解：设，等式两边对求导，得 ……2分 通解为= ……5分 又，得，于是 ……6分 四、试解下列各题(本大题共4个小题，每题6分，计24分，解答写出推理、演算步骤) 1、求。 解：令 ……2分 则= = ……6分 2、设，求在内的表达式。 解： ； ……1分 ……3分 ……5分 综上 ……6分 3、计算。 ……2分 = ……4分 = ……6分 4、求微分方程的通解。 特征方程,对应齐次方程的通解为 （其中为任意常数） ………3分 因是特征根，设特解为，其中A为待定常数，代入原方程， 得 ………5分 从而得通解 ………6分 五、（本题满分8分）设上连续，求证：，并利用上述结果计算积分。 证明： ……4分 = 故 ……8分 六、（本题满分8分）一酒杯的容器内壁是由曲线绕y轴旋转而成，若把满杯的饮料吸入杯口上方2cm的嘴中，问要做多少功? （饮料的比重为） 解：如图所示， ……3分 ……5分 ……8分 七、（本题满分6分）设在上二阶可导，且证明： 法一：令，显然。 ……2分 ……5分 故单增，得，即。 ……6分 法二： ……3分 将上式两边在区间上积分，得 右边第二项积分为0，第三项0，故。6分 第 3 页 共 3 页 x o y y+dy 8 2 y=x3 y