二次根式的概念及其运算.docVIP

第章 二次根式及其乘除运算 回顾与思考 1．二次根式的定义和性质 (1)定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． (2)性质：①(a≥0)是一个非负数，即 0 a≥0)；②()2= (a≥0)；③= ；(1) （a≥0）；(2) 0(a≥0)；(3) (3)()2与的区别：①运算顺序不同：()2先 ，后 ．先 ，后 ；②字母取值范围不同：()2中的a ，中的a ；③运算结果不同：()2= ，= ． 2．二次根式的乘除法 (1)二次根式相乘，等于被开方数相乘，根指数不变，即·=(a≥0，b≥0)． (2)二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即 =(a≥0，b0)．3．二次根式的乘除： (1)计算公式： (2)化简公式：当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，直接利用这个公式计算很方便．二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的．4．二次根式的加减：(1)法则： . (2)概念：二次根式的加减步骤：(1)化简；(2)判断；(3)分类；(4)合并。3．最简二次根式 (1)被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (2)化二次根式为最简二次根式的步骤：一分：分解因数（因式）、平方数（式）；二移：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；三化：化去被开方数中的分母．4．分母有理化 (1)概念：①把分母中的根号化去，叫做分母有理化． ②两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．常用有互为有理化因式有以下几种：与(这里的为最简二次根式)互为有理化因式；a+与a–互为有理化因式；+与–或m+n与m–n互为有理化因式． (2)分母有理化的方法有两种：直接约分化去分母中的根号；根据分式的基本性质，分子和分母都乘以分母的有理化因式，可以使分母不含根号． 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母。 ．二次根式的混合运算：(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．(2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．方法与技能 题型方法【例1】(1)下列各式中，哪些是二次根式？ (1) (2) (3) (4) (5)(a≥3) (6) 思路启迪：判断一个式子是不是二次根式，首先看它是否含有根号；其次看根指数是不是2；最后看被开方数是不是非负数．若三个答案都是肯定的，那么这个式子是二次根式．不满足三个条件中的任何一个，就不是二次根式． 例 (1)当x为怎样的实数时，下列各式有意义？ + 思路启迪：要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数．下列二次根式中，哪些是同类二次根式？ 2，，–，，x，3，，思路启迪：先化二次根式为最简二次根式．最简二次根式只要被开方数相同，就是同类二次根式，与根号外面的因式无关． (3)若+=0，求a2010+b2010的值． 思路启迪：①利用二次根式的非负性；②根据几个非负数的和等于零，则这几个数都等于零，将问题转化为解方程组的问题．【例3】化简 (4) (a0)(5) (6)x2 (7) (8)(0x1) 思路启迪：(1)如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性质和公式=a(a≥0)将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简． (2)如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。 【例4】把下列各式分母有理化：(1) (2) (3) (4) (5) 思路启迪： 分母有理化是化简二次根式的一种重要方法．分母有理化时,应结合题目的具体特点,选择适当的方法．【例】计算 (1)(2–)–(–) (2)–+–7 (3)+–(+) (4)(4b+)-(