从高观点下分析两角和与差的正余弦公式的教学.docVIP

从高观点下分析两角和与差的正余弦公式的推导 对于两角和与差的正余弦公式：。只要知道其中的一个即可由换元及诱导公式获得其它三个。从历史的角度看对两角和差的正余弦公式的推导，更多的是从几何形式进行的： 解法一：令， 解法二：最早见于典籍的是托勒密的证法，依赖于其所提出的托勒密定理（圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和） 如图、为圆O的直径，在弧上有一点E，令，则由托勒密定理，在四边形和中分别有： 即： 从几何图形的角度来推导公式除了以上方法外还有柯西法、耐孝思(Nichol,s)法、面积变换法（可参见汪晓勤《几何视角下的和角公式》、吴秋芳《两角和与差的正余弦公式的几何解释》）公式的推导贴近于形象思维，但其缺点也很明显，首先传统的几何证法具有一定的技巧性，随着科学的发展，人们意识到:必须寻求出改变传统几何方法的有效途径，才能使数学史有效地应用到科学中去；其次要说明此结果是否在为任意角时也成立，还要做进一步的推广工作。并且这项推广工作的过程也是比较繁难的。 在高中教材上，对两角和差的正余弦公式的推导，伴随教学过程的不同主要采取向量法和解析几何的方法，强调思辨思维、代数思维的应用。 解法三：在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B。 则 ⑴如果，则向量和的夹角即为，则 ⑵如果，设向量和的夹角为，则，而。于是。也有。即对任意角有 解法三的缺陷在于教材试图让学生充分体会向量工具性作用及优越性，但向量法的出现显得突兀，学生想不到用向量；又因为教学中允许教学模块的自由组合，往往在三角函数后直接讲三角恒等变换这一章，所以教学中又尝试使用老教材上的的解析证法。 解法四：令，，。因为，则 即 所以 与解法四类似的还有科切尔尼科夫的证法（可参见雷晓莉、曹海春《H PM视角下两角和与差二角公式教学的四次实践与调整》） 解法五：实质上，通过欧拉公式：使得三角函数同指数函数联系起来，将三角学从研究三角形解法进一步转变为研究三角函数及其应用的一个分析学的分支。 因为： 所以： 即