正弦.余弦定理(2.0).pptVIP

* * * * 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 即：a2=b2+c2－2bc cosA b2=a2+c2－2ac cosB c2=a2+b2－2ab cosC 注意：1、熟悉定理的形式结构特点，注意“平方”“夹角”“余弦”等 2、每个等式中包含四个量，它们分别是三角形的三条边和其中一角，知三求一 3、当∠C＝90?时，则cosC＝0，∴c2＝a2＋b2，即余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 判断三角形形状 利用余弦定理，可以解决： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边及夹角，求第三边和 其他两个角. A B C a b c c2=a2＋b2－2abcosC. a2＋b2－c2 2ab cosC＝ 1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 C 解法一：利用余弦定理将角化为边. ∵bcosA＝acosB,∴b· ∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2,∴a2＝b2,∴a＝b， 故此三角形是等腰三角形. 解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵bcosA＝acosB 又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π，∴A－B＝0 即A＝B 故此三角形是等腰三角形. 返回 2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 ；若a2=b2+c2，则△ABC为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为 。 3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 。 4.在△ABC中，BC=3，AB=2，且 ，A= 。 直角三角形 等腰三角形 锐角三角形 钝角三角形 120° 1.在△ABC中，证明下列各式： （1）（a2－b2－c2）tanA＋（a2－b2＋c2）tanB＝0 2.在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos2 ，试判断此三角形的类型. 解：∵sinB·sinC＝cos2 , ∴sinB·sinC＝ ∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］ 将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得 cosBcosC＋sinBsinC＝1, ∴cos（B－C）＝1 又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π∴B－C＝0 ∴B＝C 故此三角形是等腰三角形. A C B A B C D 余弦定理及其应用 *