中考中以正方形为背景的旋转问题.docVIP

正方形探索题 1、如图1，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。 (1)说明OE=OF的道理； (2)在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请 2、用两个全等的正方形和拼成一个矩形，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合，且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转。 （1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形的两边相交于点时，如图3，通过观察或测量与的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。 （2）当直角三角尺的两直角边分别与的延长线，的延长线相交于点时（如图4），你在图3中得到的结论还成立吗？简要说明理由。 3、如图，将一把三角尺放在正方形ABCD上，并把它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线OC相交于点Q，探究： ⑴当点Q在DC上时（图5），线段PQ与线段PB有怎样的大小关系？试说明你观察到的结论 ⑵当点Q在DC的延长线上时（图6），⑴中观察到的结论还成立吗？说明理由。 4、如图7，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。 解答下列问题： （1）如果AB=AC，∠BAC=90°。 ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图8，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。 ②当点D在线段BC延长线上时，如图9，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动时。试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）（初二） （3）若AC＝，在的条件下，正方形ADEF的边DE与CF相交点P，CP长最大值．（1）①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等； ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90o． ∵∠BAC=90o，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC， 又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD 　　　　 ∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90o， AB=AC ，∴∠ABC=45o，∴∠ACF=45o， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF⊥BD （2）画图正确　　　　　　　 当∠BCA=45o时，CF⊥BD（如图丁）． 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF⊥BD （3）当具备∠BCA=45o时， 过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊） ∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上， ∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x， 容易说明△AQD∽△DCP，∴ ， ∴， ． ∵0＜x3 ∴当x=2时，CP有最大值1．(2008黑龙江黑河)已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点． 当绕点旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． . 解：（1）成立． 如图，把绕点顺时针，得到， 则可证得三点共线（图形画正确） 证明过程中， 证得： 证得： （2） 图戊 图2 图1 图丁 图5 图8 图9 图7 图6 图4 D F H E C G B A 图3 D F H E C G B A