第四讲定积分的应用.ppt

内容提要 1.元素法； 2.平面图形的面积； 3.立体的体积。 教学要求 1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实 际应用题 ； 2.熟悉各种平面面积的积分表达方法； 3.熟练掌握应用微元法求体积的方法； 4. 能用定积分表达某些物理量 。 二、平面图形的面积 （二）、在极坐标系下的面积问题 三、 体积 小结 （二）、平行截面面积为已知的立体的体积 设一立体位于 过点x=a, x=b 且垂直于 x 轴的两平面之间， 从而 用垂直于 x 轴的任一平面截此立体所得的截面积 A(x) 是 x 的已知函数， x 取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间 过其端点作垂直 x 轴的平面， x x+dx 作体积微元： x x+dx [x , x+dx] ， 以A(x) 为底，dx 为高作柱体， 用微元法： 第五讲 定积分的应用 回顾 用定积分求曲边梯形面积的问题： 及直线 所围成的曲边梯形的面积 其求解步骤如下： a b x y o 一、 定积分的微元法 a b x o 第一步：分割 将区间 任意分成 个小区间 由此曲边梯形就相应地分成 个小曲边梯形。 第二步：近似 形面积之和 即 所求的曲边梯形面积A为每个小曲边梯 为底 的小矩形面积 近似代替小曲边梯形面积 第三步： 求和 第四步： 取极限 总结： 上述四步中，由第一步知， 有关， 部分量的和， 可加性. 分成许多小区间， 的面积A这个量就相应地分成许多部分量， 如果把区间 具有 这种性质称为所求量A对区间 则所求 而A是所有 a b x o 所求面积A这个量与 就是定积分的被积表达式 a b x o 上述第二步中的近似表达式 可确定定积分的被积表达式 方法是： 于是有 再将区间 则 可写为 称 为面积A的微元， 于是 即 记为 一般地，当所求量F符合下列条件： 以上方法称为 这就给出了定积分的被积表达式 于是 “微元法” 微元法解决实际问题的一般步骤如下： (1) 根据问题的具体情况， 选取一个变量 例如取 为积分变量， 并确定它的变化区间 以上步骤要熟练掌握! 如：平面图形的面积； 引力和平均值; 液体的压力； 变力做功； 平面曲线的弧长； 体积； 注意 微元法解决实际问题的使用对象： 具有可加性的量 等等. 1）如果 则 S S 即 （一）、在直角坐标系下的面积问题 如图 则 熟记 用微元法： c d 熟记 用微元法： 所围成的图形 例1 计算由抛物线 的面积A . 解 用微元法 确定积分区间： 解 方法一：选择 x 作积分变量 1 从而得到积分区间 区间上任取一小区 间 dA 面积微元 o x y 确定积分区间： 面积微元 方法二：选择 y 作积分变量 解得 y=0, y=1 从而得到积分区间 区间上任取一小区 间 1 y y+dy dA 解 求两曲线的交点 选 为积分变量 选 x 作积分变量时，需求 两块面积 y y+dy 作面积微元 dA dA 成的图形的面积. 解 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 注意： 如果曲边梯形的曲边 的方程为参数方程： o 曲边梯形的面积 由上例可知： 解 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 注意： 练习 面积微元 曲边扇形的面积 所围成的图形， 称为曲边扇形. 解 用微元法 解 解 所围平面图形的面积A . 例2 求心形线 解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积 求双纽线 所围平面图形的面积. 练习 2. 在极坐标系下的面积问题 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 （一）、旋转体的体积 由一个平面图形绕这个平面内一条 直线旋转一周而成的立体． 这直线叫做旋转轴． 取横坐标x为积分变量, 一般地, 轴所围成的曲边梯形, 及 x 轴旋转一周而成 绕 x 由连续曲线 直线 的立体, 它的变化区间为 相应于 上任一小区 小曲边梯形 绕x轴旋转而成的薄片 近似地等于以f(x)为底面半径、dx为高的圆柱体的 体积， 即体积微元为 于是，在闭区间[a,b]上作定积分， 得所求旋转体 体积为 的体积 例 1 圆锥体的体积 解 直线 的方程为 利用旋转体体积公式， 知： 例2 计算椭圆 绕x轴旋转而形成的旋转体 的体积. 解 这个旋转体可以看成 以半个椭圆 绕x轴旋转而成的立体 取积分变量为x, 利用旋转体体积公式，知： 所求的体积为 求星形线 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积 . 解 由旋转体的体积公式，知： 练习 类似地，如果旋转体是由连续曲线 ) ( y x j = 直线 c y = 、 d y = 及 y 轴所围成的曲边梯形 绕y轴旋转 体积为 熟记 一周而成的立体， 例 3 旋转一周