02_弹性力学基础及变分原理01-1.pptVIP

弹性力学基础及变分原理 同济大学航力学院 许震宇 1.2 变分法基础(Foundations of Variational Method) 变分学是数学的一个分支，它研究一些函数的函数（泛函）的驻值性质。最佳方案、最优设计等等本质上都是变分问题，更是有限元法的数学基础。 泛函 泛函 (functional)：如果对于某一类函数 y(x)，中的每一个函数 y(x)，都有一个 П 值与之对应，则变量 П 称为函数 y(x) 的泛函。 三个基本问题 最速降线问题 短程线问题 等周问题 其他变分问题： 1. 悬索线问题。 2. 最小曲面问题。 3. 最小旋转面问题。 变分的定义 变分(Variational)：泛函 П [y(x)] 的宗量 y(x) 的增量如果很小，就称为变分，表示为 δy(x) 或 δ y。 δ y 即 y(x) 和与之相接近的 y1(x) 之差，即 δy(x) = y(x) - y1(x) 泛函的连续 ??0，?|?， 当 | y(x) - y1(x)|?，| y’(x) – y’1(x)|?，…，| y(k)(x) – y(k)1(x)|?， s.t. | ?[y(x)] - ? [y1 (x)]| ?， 就认为 ? [y(x)] 在 y(x) = y1(x) 处是 k 阶连续的。 泛函的变分 ?? = ? [y(x)+ ?y(x)] - ? [y(x)] ? = L(y(x), ?y(x)) + ?( y(x), ?y(x)) * max|?y(x)| ?y(x) - 0, max|?y(x)| - 0, ?( y(x), ?y(x)) –0 ?? = L(y(x), ?y(x)) 泛函的驻值 函数 f(x) 的驻值条件是： 设 y0(x) 是泛函? [y(x)]的容许函数，若对?y(x)都有 ? [y(x)] - ? [y0 (x)] ? 0， 称 ? [y(x)] 在曲线 y0 (x) 上达到了极大值。 ? 泛函 ? [y(x)] 的驻值条件是： ?? [y(x)] = 0 ? 欧拉方程 变分法的基本预备定理 如果 F(x) 在线段 (x1, x2) 上连续且对于满足一般条件的任意选定的函数 ?y(x)，有 则在线段 (x1, x2) 上有F(x) ? 0 ?y(x) 满足的一般条件是 一阶或若干阶可微； 在线段 (x1, x2) 端点处为零； | ?y(x) | ?。? 最短线问题 y(x1) = y1，y(x2) = y2 变分法的主要步骤 建立泛函及条件； 得到欧拉方程； 求解欧拉方程，得到所求函数。 最速降线问题 y(0) = 0, y(x1) = y1 总结 变分原理 泛函 欧拉方程，及自然边界条件 泛函驻值问题的求解 参考书 弹性力学的变分原理及其应用，胡海昌，科学出版社，1981 变分法及有限元，钱伟长，科学出版社，1980 作业 最短线问题