第六讲 椭圆.docVIP

第六讲 椭圆 一、椭圆的定义 1．椭圆的第一定义： 平面上到二定点的距离之和为定值的动点的轨迹，叫做椭圆。其中二定点叫做椭圆的焦点，间的距离叫做椭圆的焦距。对本定义的理解要注意与的大小关系： 当时，轨迹为椭圆； 当时，轨迹为线段； 当时，轨迹不存在。 2．椭圆的第二定义： 平面上，到定点的距离与到定直线()的距离之比为常数的点的轨迹，叫做椭圆。 其中的定点叫做椭圆的一个焦点，定直线叫做与焦点对应的椭圆的准线。 说明：①定点不在定直线上；②注意比的顺序是到定点的距离比到定直线的距离；③比值的取值范围；④焦点与准线的对应性。 二、椭圆的标准方程 1．标准方程的推导： 2．焦点在轴上的椭圆的标准方程：，其二焦点 的关系： 3．焦点在轴上的椭圆的标准方程：，其二焦点 的关系：三、椭圆的几何性质：  焦点在轴上的椭圆 焦点在轴上的椭圆 定义 第一定义 到两定点的距离之和为定长的点的轨迹(两定点间的距离小于定长) 第二定义统一定义 到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(0e1)的点的轨迹 图 形 标准方程 顶点坐标 对称性 对称轴：x、y轴,长轴长为,短轴长为，对称中心：原点 焦点坐标 离心率 准线 焦半径 通径 焦准距 四、典型题型： 1．关于椭圆的标准方程： 1．写出下列椭圆的焦点、顶点坐标，长轴长、短轴长、焦距、准线方程。 ①； ②； 2．求过点且与椭圆有公共焦点的椭圆的标准方程。 3．求过点的椭圆的标准方程。 4．已知椭圆的焦距为8，长轴长为10，求椭圆的标准方程。 5．中心在原点，且过点，一条准线为的椭圆的标准方程 2．利用椭圆的定义解题 (1)利用定义求值 6．椭圆的焦点为，是过焦点的弦，则的周长为________。 7．是椭圆的一个焦点，为坐标原点，是椭圆上一点，是线段的中点，且，则__________。 8．椭圆的左、右焦点分别为，其上一点到的距离为4，则到右准线的距离为________。 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是其一点，若，求的面积。 (2)利用定义求最值 10．椭圆的左、右焦点分别为，点是其上的动点，求的最值。 11．是椭圆的左焦点，是其上的动点，其内一定点，①求 的最小值；②求的最小值。 12．椭圆的左、右焦点分别为，点是其上的动点，若，求的最小值。 (3)利用定义求轨迹或轨迹方程 13．已知椭圆的二焦点分别为，是其上一动点，延长至，使，则动点的轨迹是________。 14．椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一动点，过引的内角的外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_____。 15．已知圆，定点，点是圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，求点的轨迹方程。 16．已知圆，圆若动圆与圆外切，与圆内切，求圆心的轨迹方程。 (4)其它问题 17．椭圆的左焦点为，左准线为，是过任一弦，则以为直径的圆与直线的位置关系为_____________。 18．椭圆的左焦点为，长轴为，是椭圆上任一点，则分别以为直径的二圆的位置关系为_____________。 3．关于椭圆的几何性质 19．椭圆的四个顶点为，若四边形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为________________。 20．椭圆的左、右焦点分别为，点是其一点，若，求此椭圆的离心率。 21．椭圆的左、右焦点分别为，点是其上的动点(不为长轴的二端点)，若的内心为，的延长线交轴于点，且，求椭圆的离心率。 22．椭圆的左、右焦点分别为，其上存在点，使，则此椭圆的离心率的取值范围为_______________。 23．椭圆的离心率为，则实数_______。 24．若椭圆的准线平行于轴，则实数的取值范围为_____________。 4．直线与椭圆 25．直线和椭圆，求分别满足下列条件的实数的取值范围。①直线与椭圆相离；②直线与椭圆相切；③直线与椭圆相交。 26．过点作椭圆的切线的方程为______。 27．过椭圆外一点作椭圆的二切线，则过二切点的直线的方程为_____________。 28．椭圆上的点到直线的距离的取值范围为_____________。 29．若椭圆上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围。 30．椭圆内有一定点，求以为中点的弦所在直线的方程，以及弦长。 31．已知直线过椭圆的左焦点，且倾斜角为,求直线被椭圆所截得的弦长。 32．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，求的面积的最大值及此时直线的方程。 33．已知直线交椭圆于两点，且以为直径的圆过原点，求弦的长。 34．过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，点满足，点，当绕点旋转时，(1)求动点的轨迹方程； (2)求的最小值与最大值。 35．若椭圆与轴的正半轴交于