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迎初赛苦练本领系列训练天天练003答案 （2013年元月3日） 姓名得分 一、填空题（） 013．已知函数在其定义域内既有极大值又有极小值，则实数的 取值范围是 解：先求导数：； 因为函数在其定义域内既有极大值又有极小值， 所以一定有两个不相等的实根； 因此，，解之可得：或． 014．已知整数集合有整数解，集合满足条件：①； ②若，则；则所有这样的集合的个数是 解：设为方程的两个整数根，则由韦达定理得：； 当，时，有； 当，时，有； 当，时，有； 当，时，有； 当，时，有； 故； 由条件①知：；由条件②知：是由一些成对的相反数所组成的集合； 故的5对相反数共能组成个不同的非空的集合． 015．在多项式的展开式中，每一字母的指数均不为零的项共有项． 解：设的展开式中任意一项为，其中（*）； 若，则不定方程（*）的解的个数等价于“8个苹果分为4份，每份至少1 个”的分法种数；相当于：在8个苹果中间的7个空内插3个隔板的插法数即． 016．已知函数；若在任何长度为2的闭区间上总存在两点， 使成立，则的最小值是 解：由于是二次及其附近的长度为2的闭区间； 在此区间上，有，． 故由题意可知：，从而的最小值为； 当时，； 下证：在任何长度为2的闭区间上总存在两点，使． 证：考虑到对称轴与区间的对称性，分类讨论； ①当时，在区间上是增函数； 令，则； ②当时，在区间上是减函数； 令，则； 综合上述可得：的最小值为．（本题的想像力丰富，值得好好玩味一下的） 二、解答题（） 017．已知是整数，且满足是质数，是完全平方数，若，求的最小值． 解：设是质数，为正整数；（学会这里的设法） 由； 因为与都是正整数，且为质数； 所以，，；（这种因数分解处理是数论中常用技巧） 解之可得：；于是，； 又因为，即；（不要忘记已知条件） 考虑到是质数，解得：； 此时，，当时，，，； 因此，的最小值为2025． 018．已知函数对于任意实数都有，且当时，； （1）问：在实数集上是否为单调函数？并说明理由； （2）若，求：． 解：（1）考虑只用定义和已知条件： 对任意的，且，则有： ； 因为，所以， 从而有：，即在上是单调减函数． （2）由，得； 再由，得； 下面寻找递推关系，为降幂提供保证 对任意的，显然有：； 令；；（这里构造递推关系，是常规） 从而有：； 设，则有，于是数列是公比为，首项； 所以数列的通项公式是；（一次线性关系构造等比数列也是常规） 而，所以． 4