构造完美图形优化几何证明.docVIP

构造完美图形 优化几何证明 南通高等师范学校海门校区（226100） 何 军 “美是真理的光辉”，对科学美的完善和追求常常为发现新的理论、蒙发新的思想提供重要线索和有力手段。同样，在几何证明过程中，我们可以运用补美思想，通过延长线段，取中点，作平行线、垂线等多种方法，构造等边三角形、正方形等完美图形，充分利用这些基本图形的美学性质，诱发直觉灵感，发现证题思路，培养创造能力，从而优化几何证明。下面例谈构造完美图形在几何证明中的应用。 构造等边三角形 等边三角形具有三边相等，三个角都为，重心、垂心、内心、外心四心合一等美学特征，证明过程中，通过构造等边三角形，可以充分应用等边三角形的基本性质，拓展解题思路。 例1 如图1，中，AB=AC，且。求证：AE=EB+BC。 分析与证明：注意到AB=AC，且，那么能否构造等边三角形呢？尝试延长BC至F，使CF=BD，连结AF。 ∵AB=AC，∴，∴ ∴⊿ABD≌⊿ACF，∴DB=CF，且∠D=∠F，又∵∠D=， ∴⊿ADF是等边三角形，∴AD=DF。 又∵，∴⊿DBE也是等边三角形，∴DB=BE=DE， ∴AE=EB+BC 构造等腰三角形 等腰三角形具有两腰相等，两底角相等，底边上的中线、顶角的角平分线和底边上的高合一等美学特征，证明过程中，可以通过构造等腰三角形发掘解题思路。 例2 如图2，中，从点A作，的平分线的垂线，垂足分别为P，Q。求证： PQ∥BC。 分析与证明：注意到已知条件与等腰三角形底边上的中线、顶角的角平分线和底边上的高合一等美学特征类似，能否构造等腰三角形证题呢？ 延长AQ、AP分别交BC于E、F。 ∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，BP⊥AF， ∴Rt⊿APB≌Rt⊿FPB ∴AB=BF，∴⊿ABF为等腰三角形，∴AP=PF， 同理，⊿ACE为等腰三角形，AQ=QE，∴PQ∥BC 构造直角三角形 直角三角形具有两锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，两直角边的平方和等于斜边的平方等美学特征，证明过程中，构造直角三角形有时也可以“柳暗花明又一村”。 例3 如图3，梯形ABCD中，，AD∥BC，设M、N分别为AD、BC的中点。求证：。 分析与证明：注意到条件，尝试平移AB、CD，即过N作AB、CD的平行线交AD于E、F，构造⊿ENF， ∵AB∥EN，又BN∥AE，∴四边形AENB是平行四边形， ∴AE=BN，∠MEN=∠A 同理，FD=NC，∠MFN=∠D ∵，∴∠MEN+∠MFN=，∴⊿ENF为直角三角形， ∴ 构造全等三角形 全等三角形具有对应角相等，对应边相等等美学特征，证明过程中，通过构造全等三角形可以将看似毫不相干的条件集中起来，实现问题的转化。 例4 如图4，以的AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形⊿AEB和⊿BFC，D为AC中点。求证：DE=DF，DE⊥DF。 分析与证明：要证DE=DF，可以由∠DEF=∠DFE得到，但与已知条件联系不上，注意到D为AC中点，能否构造全等三角形寻找解题突破口呢？尝试取AB、BC的中点G、H ，连结EG、DG，DH、HF。问题在于证⊿EDG≌⊿DFH。 ∵AD=DC，CH=HB，∴DH∥AB，， ∴∠CHD=∠CBA。 ① 又⊿AEB为等腰直角三角形，AG=GB， ∴EG⊥AB，，∴DH=EG， ② 同理可证，HF=DG，∠AGD=∠CBA ③ 由①③得，∠AGD=∠CHD 又⊿BFC为等腰直角三角形，HF⊥BC， ∴∠EGA+∠AGD=∠FHC+∠CHD，即∠EGD=∠DHF ④ ∴由②③④得，⊿EDG≌⊿DFH，∴DE=DF，∠HDF=∠GED 又∠FDE=∠HDF+∠GDH+∠GDE=∠GED+∠AGD+∠GDE=-=， ∴DE⊥DF。 构造平行四边形 平行四边形具有对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分等美学特征，证题过程中，可以运用平行四边形的性质实现等量的转化。 例5 如图5，在中，M为AB的中点，D为AB上任一点，N、P分别为CD、CB的中点，Q为MN的中点，PQ与AB相交于E。求证：AE=ED。 分析与证明：要证AE=ED，换种表示方式就是要证E为AD的中点。在中，N是CD的中点，连结PN、PM、NE。如果EN∥AC，则问题就解决了。又注意到在中，MP∥AC，且， 则只需证四边形NEMP是平行四边形即可。 ∵N、P分别为CD、CB的中点， ∴NP∥DB，即NP∥EM，∴， 又，且NQ=MQ， ∴⊿NPQ≌⊿