勾股定理的几种证明方法.docVIP

勾股定理证明的几种证明方法 一、教学内容：勾股定理 1. 掌握勾股定理，了解用拼图的方法验证勾股定理． 2. 能够利用勾股定理进行有关的计算或推理． 3. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题． 二、知识要点： 1. 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝__________，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是__________． 证法一（拼图法）：如图所示，因为大正方形的边长为a＋b，所以面积为（a＋b）2；中间小正方形的面积为c2，周围四个直角三角形的面积为4×ab；于是有（a＋b）2＝c2＋4×ab，整理得a2＋b2＝c2． 证法二（拼图法）：如图所示，因为大正方形的边长为a＋b，所以面积为（a＋b）2．又因为此正方形的边长与图（1）中的正方形边长相等，所以它们的面积也相等．故a2＋b2＋4×ab＝c2＋4×ab，所以得到a2＋b2＝c2． 证法三（拼图法）：如图所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成的，由梯形的面积公式，得S梯形＝（a＋b）（a＋b）＝（a＋b）2．而S梯形＝ab×2＋c2．故（a＋b）2＝ab＋c2，整理得a2＋b2＝c2． 证法四（拼图法）：如图所示，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的．因为大正方形的面积为c2，四个直角三角形的面积和为4×ab，中间的小正方形的面积为（b－a）2，故c2＝4×ab＋（b－a）2，整理得a2＋b2＝c2． 2. 怎样用勾股定理解决面积问题 求分别以直角三角形的三条边为边长的正方形的面积之间的关系，关键是找出正方形的面积与三角形的边之间的关系． 如图（1）所示，分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，可以很容易得出S1、S2、S3之间的关系．因为△ABC为直角三角形，所以AB2＝AC2＋BC2，而S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，故S1＝S2＋S3，图（2）中S1、S2、S3之间的关系也可以用以上方法得到． 3. 立体图形中的最短路径问题 （1）圆柱中的最短路径． 如图①所示，圆柱的底面周长为20cm，高为4，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试画出蚂蚁爬行的最短路径． 因为爬行是在立体图形的表面上进行的，所以可以把立体图形转化成平面图形，即它的侧面展开图（如图②所示），再看出发点与目的点之间是哪条线段，需要时可根据勾股定理求出这条线段的长度． （2）正方体中的最短路径． 如图③中的正方体，棱长为1，若一只小虫从点A爬到点C，它爬行的最短路径是多少？ 将正方体展开后（如图④所示），因为从点C出发有三条棱，故点C有三处位置，即点C1、C2、C3，分别连结AC1、AC2、AC3，可得它们的长度都是，故这只小虫爬行的最短路径为． 注意：当图③中的立体图形为长方体时，也是用同样的方法进行分情况比较，但沿这些不同路径，所走路程可能会不同． 三、重点难点： 重点是掌握勾股定理的内容，难点是勾股定理的应用． 【典型例题】 例1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，a＝4，求b、c，△ABC的面积及斜边AB上的高． 分析：在Rt△ABC中，由∠B＝60°可知∠A＝30°，根据30°锐角所对的直角边等于斜边的一半可求出c，然后根据勾股定理求出B. 进一步用面积公式S△ABC＝ab，求出S△ABC，最后由ab＝c·CD，求CD的长或者是在Rt△ACD中，用30°的锐角所对的直角边CD等于斜边AC的一半来求． 解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°． 又因为a＝4，所以c＝8． 根据勾股定理得b2＝c2－a2＝82－42＝48， 所以b＝＝4． 所以S△ABC＝ab＝×4×4＝8． 在Rt△ACD中，因为∠A＝30°，所以CD＝AC， 所以CD＝×4＝2． 评析：直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半． 例2. 一个零件的形状如图所示，已知AC＝3cm，AB＝4cm，BD＝12cm．求CD的长． 分析：要求CD的长，由图知CD2＝BC2＋BD2，BD的长已知，在Rt△ABC中，应用勾股定理，求得BC，进而求CD. 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 BC2＝AC2＋AB2＝32＋42＝25． 在Rt△CBD中，根据勾股定理，得 CD2＝BC2＋BD2＝25＋122＝169， 所以CD＝13． 评析：BC在本图中，既是Rt△ABC的斜边，又是Rt△CBD的直角边． 例3. 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________． 分析：由勾股定理