0907第35讲 简单递推数列.ppt

* (1)已知数列{an}，其中a1=10，且当n≥2时，an= ，求数列{an}的通项公式an； (2)在正项数列{an}中，a1=10，an+12=an3，求数列{an}的通项公式及前5项之和. 题型三 变形、构造转化为等差、等比数列 例3 * (1)将an= 两边取倒数得 - = (n≥2)， 即{ }是以 = 为首项，以 为公差的等差数列， 所以 = +(n-1)× = ,即an= . n=1也适合上式. 解析 * (2)因为an+12=an3，即2lgan+1=3lgan, 所以 = ,即{lgan}是以lga1=1为首项，以 为公比的等比数列. 所以lgan=1×( )n-1,即an=10( )n-1, 所以 a1·a2·a3·a4·a5=10( )0·10( )1·10( )2·10( )3·10( )4 =10( )0+( )1+( )2+( )3+( )4 = . * 形如an+1= ，去分母后变为an+1·an+pan+qan+1=0, 再化为 + =0，令 =bn，从而上式可变为bk+1=k·bn+b型；形如an+1p=anq型，两边取对数，从而直接转换，但应注意大前提“为正”. 评析 * * 解析 * 已知数列{an}中，其中a1= ，且an+1=-2an+5，求{an}的前n项和Sn. 由题意，原递推式可变形为an+1+λ=-2(an+λ)， 即an+1=-2an-3λ,与原递推式比较得λ=- , 题型四 待定系数构造法 例4 解析 * 所以有an+1- =-2(an- ), 故数列{an- }是以a1- =1为首项，-2为公比的等比数列. 则an- =1×(-2)n-1，即an= +(-2)n-1, 所以Sn=a1+a2+…+an =[ +(-2)0]+[ +(-2)1]+…++[ +(-2)n-1] = n+ = n- (-2)n+ . * 待定系数法是从数列递推式特征规范、构造一个新数列，变换形式如下：(1)an+1=Aan+B(A、B为常数)型，可化为an+1+λ=A(an+λ)的形式；(2)an+1=Aan+B·cn型，可化为an+1+λ·cn+1=A(an+λ·cn)的形式；(3)an+2=Aan+1+Ban型，可转化为an+2+λan+1=A(an+1+λan)的形式；(4)an+1=Aan+Bn+C型，可化为an+1+λ1(n+1)+λ2=A(an+λ1n+λ2)的形式（其中A、B、C均为常数). 评析 * 解析 * 设数列{an}的前n项和为Sn.已知ban-2n=(b-1)Sn(n∈N*). (1)证明：当b=2时，数列{an-n·2n-1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式. * 由题设，得a1=2.又ban-2n=(b-1)·Sn,则ban+1-2n+1=(b-1)·Sn+1,两式相减，得b(an+1-an)-2n=(b-1)·an+1,即an+1=ban+2n. (*) (1)证明：当b=2时，由(*)式得an+1=2an+2n, 于是有an+1-(n+1)·2n=2(an-n·2n-1), 且a1-20=1≠0，所以{an-n·2n-1}是以1为首 项，2为公比的等比数列. 解析 * (2)当b=2时，由(1)知,an=(n+1)·2n-1.当b≠2时，由(*)式知, = · + , 所以 + = ( + )(n∈N*)， 所以{ + }是以 + =1+ = 为首项， 为公比的等比数列. 所以 + = ·( )n-1, 即an= ［(2b-2)bn-1-2n］(n∈N*). * 1.一是要熟练掌握常见的递推数列的通项公式的求法.如迭加型，累乘型等.二是会将问题转化为等