(人教a版)必修一同步课件：函数的最大值、最小值.ppt

【变式训练】快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如图， 各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45千米/时和15千米/时，已知AC＝150千米，在快艇到达C地之前，经过多少时间，快艇和轮船之间的距离最短？ 【解析】设经过x小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设 为y， 由150÷45= 知定义域为{x|0x≤ } 可求得当x=3时，y有最小值． 故经过3小时，快艇与轮船之间的距离最短. 二次函数在区间上的最值 【典型例题】 1.已知函数f(x)=x2-2ax+2，x∈［-1,1］，求函数f(x)的最小值. 2.设函数f(x)=x2-2x+2,x∈［t,t+1］,t∈R，求函数f(x)的最小值. 【解析】1.f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上，且对称轴为直线x=a. 当a≥1时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间［-1，1］上是减函数，最小值为f(1)=3-2a; 当-1a1时，函数图象如图(2)所示，函数f(x)在区间［-1,1］上是先减后增，最小值为f(a)=2-a2; 当a≤-1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［-1，1］上是增函数，最小值为f(-1)=3+2a. 2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［t,t+1］,t∈R，对称轴为直线x=1. 当t+11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］上为减函数，所以最小值为f(t+1)=t2+1; 当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值为f(1)=1; 当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2. 【拓展提升】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间［m,n］上 的最值的类型 (1)若对称轴x= 在区间［m,n］内，则最小值为f( )，最大 值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x= 距离较远的 一个对应的函数值为最大值). (2)若对称轴x= m,则f(x)在区间［m,n］上是增函数，最大 值为f(n),最小值为f(m). (3)若对称轴x= n,则f(x)在区间［m,n］上是减函数，最大 值为f(m),最小值为f(n). * * * 第2课时 函数的最大值、最小值 函数的最大值和最小值 1.最大值 对于定义域为I的函数f(x)，条件： f(x)≤M f(x0)=M 结论：M是定义域为I的函数f(x)的最大值. 几何意义：函数y=f(x)图象上最___点的_______. 思考：函数f(x)=-x2≤1总成立吗？f(x)的最大值是1吗? 提示:f(x)=-x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)=1，所以 f(x)的最大值不是1，而是0. 高 纵坐标 2.最小值 对于定义域为I的函数f(x)，条件： 结论：M是函数f(x)在I上的最小值. 几何意义：函数y=f(x)图象上最___点的_______. f(x)≥M f(x0)=M 低 纵坐标 判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)=x的最小值是-∞.( ) (2)函数f(x)=-x2在［1,3］上的最小值是-1.( ) (3)函数f(x)=2x在区间［－1,3)上的最小值是-2，无最大值.( ) 提示：(1)错误. 函数f(x)=x在(－∞,+∞)上无最大值和最小值. (2)错误. 当x=3时函数f(x)=-x2在［1,3］上取得最小值-9. (3)正确.由于函数f(x)=2x在区间［－1,3)上是增函数，故当x=-1时函数取得最小值-2，函数无最大值. 答案：(1)× (2)× (3)√ 【知识点拨】 1.最大值、最小值定义的理解 (1)最大(小)值定义中具备的两个条件 ①对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M (f(x)≥M)成立; ②M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如f(x)=-x2的最大值是0,有f(0)=0,注意定义中“存在”一词的理解. (2)两条件缺一不可,若只有前者, M不是最大(小)值,如f(x)=-x2≤1总成立,但1不是最大值,更不能只有后者,那样就丢掉了最大值的核心了. 2.求最大值、最小值时的三个关注点 (1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标. (2)单调性法求最值勿忘求定义域. (3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意. 3.辨析函数的最值和值域 (1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域. (2)函数的值域一定