函数与极限 前3章.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1.2 函数的几种特性 图形特点： y=f(x)的图形在 直线y=M1的下方。 y=M1 y=f(x) O x y 1. 函数的有界性 设函数f(x)在数集A上有定义，如果函数f(x)的值域Rf=f(X)={y | y=f(x)，x?A}有上界（或有下界，有界），则称函数f(x)在A上有上界（或有下界，有界）；否则，称函数f(x)在A上无上界（或无下界， 如果存在数M2，使对任一x?X，有f(x)?M2，则称函数f(x)在X上有下界，而称M2为函数f(x)在X上的一个下界。 图形特点：函数 y=f(x) 的图形在直线 y=M2 的上方 y=M2 y=f(x) O x y 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M的之间。 如果存在数 M＞0，使对任一 x?X，有 | f(x) |?M，则称函数f(x)在X上有界； 如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M（无论M多么大），总存在 x1?X，使|f(x)|M。 O x y y=f(x) y= -M y= M 函数的有界性举例： 例1. f(x) = sin x在(-?, +?)上是有界的： 即| sin x | ?1。 -1 1 y x O -2p -p p 2p y=sin x 例2. 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M的之间。 如果存在数 M＞0，使对任一 x?X，有 | f(x) |?M，则称函数f(x)在X上有界； 如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M（无论M多么大），总存在 x1?X，使|f(x)|M。 O x y y=f(x) y= -M y= M 函数的有界性举例： 例1. f(x) = sin x在(-?, +?)上是有界的： 即| sin x | ?1。 -1 1 y x O -2p -p p 2p y=sin x 例2. O x y 1 2 y=1/x 函数f(x)=1/x在开区间(0,1)内是无界的。 无界函数举例： 函数f(x) =1/x在(0, 1)内有下界，无上界。 这是因为，任取M1，总有0 x1=(2M) -11，使f(x1)=2MM，所以函数无上界。 但此函数在(1, 2)内是有 界的。 注意：若函数f(x)在区间I上有界 函数f(x)在区间I上既有上界，又有下界 定理1，设f(x),g(x)均为A上的有界函数，则f(x) ± g(x),f(x)g(x)也为A上的有界函数 题型：函数的有界性解题思路 定义法：利用定义，对函数取绝对值，再对不等式进行缩放。 利用极限（后面章节讲） 利用闭区间上连续函数的有界性（后面章节讲） 利用导数（后面章节讲） 例如：判断 在定义域(-∞,+∞)内的有界性 2. 函数的单调性 设函数y= f(x)在区间A上有定义。如果对于区间 A 上任意两点x1及x2，当x1 x2时，恒有 f(x1) ≤ f(x2)(或者f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x)在A上单调递增（或单调递减）。 如果将上述不等式改为f(x1) f(x2)(或者f(x1) f(x2),则称函数f(x)在区间A上是严格增加(或严格递减)。 x1 x2 f(x2) f(x1) O x y I y=f(x) 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 x1 x2 f(x2) f(x1) O x y I y=f(x) 函数单调性举例 y=arcsinx ,y= arccosx y=[x],f(x)=sgnx 题型：判别函数的单调性 利用定义 利用导数法（后面章节讲述） 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(或称函数在关于原点对称的区间上)。如果对于任意的x?D，有f(-x)= f(x)，则称f(x)为偶函数。 3. 函数的奇偶性 O x y -x x f