毕业论文-泰勒公式的应用精选.doc

目 录 内容摘要 1 关键词 1 1.引言 2 2.泰勒公式 2 2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式 2 2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式 2 2.3带有积分型余项的泰勒公式 2 2.4带有柯西型余项的泰勒公式 3 3.泰勒公式的应用 3 3.1利用泰勒公式求未定式的极限 3 3.2利用泰勒公式判断敛散性 6 3.3 利用泰勒公式证明中值问题 11 3.4 利用泰勒公式证明不等式和等式 13 4. 结束语 19 参考文献 21 泰勒公式的应用 内容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。本文着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面进行论述。 关键词：泰勒公式 皮亚诺余项 级数 拉格朗日余项 未定式 1.引言 泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 确定无穷小的阶, 证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中值问题等。本文着重论述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的具体应用方法。 2.泰勒公式 2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于的任意点x,在和x之间至少一个ξ使得： 当=0时，上式称为麦克劳林公式。 2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内具有n阶导数,则对此邻域内的点x有: 2.3带有积分型余项的泰勒公式 如果函数f在点的某邻域内具有n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x,在和x之间至少一个t使得: 其中就是泰勒公式的积分型余项。 2.4带有柯西型余项的泰勒公式 如果函数f在点的某邻域内具有n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x有： ，。 当=0时，又有=。 3．泰勒公式的应用 3.1利用泰勒公式求未定式的极限 未定式是指呈等形式的极限，一般是用洛比达法则求解，当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话，必须进行多次洛比达法则，或是分子分母都是带根号项的话，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式解决，会更简单，明了。 例1 求极限 分析：此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐。若使用泰勒公式可以将问题大大简化。 解：将、在x=0点的麦克劳林公式展开到项得：， 。 原式= = =。 用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代 来计算极限的方法。我们知道当 时，等。这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项。有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化。 例2 求极限（） 解：（）=。 又,将cos2x用泰勒公式展开： Cos2x=。 则==。 假如细心思考，这一题目的结果可以引起我们的兴趣。当时，，易知。两个互为等价无穷小的函数，它们倒数之差的极限为。为什么是？是什么因素造成这一结果？如果是()，情况会怎么样？ 定理1 当，时，有： (1)当n3时，是关于x的（n-2）阶无穷大； (2)当n=2时，； (3)当n=1时，是关于x的一阶无穷小； (4)当n=0时，=0。 证明：(2)在上题已经证明了，(4)是显然成立的，这里只证明(1)、(3)。 先证明(3)： 当n=1时，()==。 在这里，利用洛必达法则可以解出这个极限，但用泰勒公式则更便捷。因为我们知道： ， 即()==。 在证明(1)：当n3时， ()= =() =(。 命题得证。 从以上定理可以看到，当时，互为等价无穷小的函数的倒数之差(或更一般的说法，这些函数的乘方之差 )的趋向情况，无穷大或无穷小的阶数以及相关的极限的特点，由函数本身在x=0处的泰勒展开式决定。同时容易推得，在以上结论中“”的条件还可以推广为 “”，这时相关特点将由函数本身在处的泰勒展开式决定。 综上所述，在求未定式极限时，要灵活运用等价无穷小与泰勒公式，并将函数展开至分子分母分别经过简化后系数不为零的阶即可。对于泰勒余项形式的选择，要根据具体题目而定，一般而言极限的计算题应该选择皮亚若型余项。 3.2利用泰勒公式判断敛散性 3.2.1数项级数的敛散性判断 当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的复杂形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式，以便利用敛判准则。 例3 讨论级数的敛散性。 分析：直