毕业设计（论文）-Lebesgue积分的应用精选.doc

本科生毕业设计（论文） 论 文 题 目： 姓 名： 学 院： 教师教育学院 专 业： 数学与应用数学（）11级 、 指 导 教 师： 江苏师范大学教务处印制 Lebesgue积分的应用 （江苏师范大学 教师教育学院 徐州 ） 摘要：本文利用积分理论解决分析的问题，它比积分更加方便，大大地开拓了我们的数学视野，提高了我们认识问题、解决问题的能力. 关键词：积分；积分；可积 我们知道黎曼积分具有一定的局限性，用它处理有些问题显得不太方便，有时甚至解决不了问题.而勒贝格积分的适用范围更加广泛，它比黎曼积分更加深刻，它能使我们更加方便、灵活的处理问题，揭示问题的本质. 预备知识 （定理）设为可测集，为上的一列非负可测函数，当时,对任一自然数,有，令，则 设为可测集，是上的实函数.如果对于任意的，作为的函数在上可积，对于的，作为的函数在上可导且，这里是上某个非负可积函数，则作为的函数在上可导，则 3、（逐项积分定理）设为可测集，为上的一列非负可测函数，则 4、（贝塞尔（）不等式）设是内积空间中的有限或可数规范正交系，那么对每个，成立不等式 . 5、设是内积空间中可数规范正交系，则对任何， 6、（斯捷克洛夫定理）设是希尔伯特空间中规范正交系，若帕塞瓦尔等式在的某个稠密子集上成立，则完全. 7、（可积的第三充要条件）函数在上可积的充要条件是：任给正数、，总存在某一分割，使得属于的所有小区间中，对应于振动的那些小区间的总长 计算 ,1、 2、 3、 解 由定理可知：1、=. 2、. 3、. 方法二：由定理知，对任意，存在子集，使 在上一致收敛，且，故 ，故 . 同理可得： ， . 求，此处， 解：方法一 令，则 ，作为的函数在上L可积，作为的函数在任何有限区间上可导且 ，，这里是上某个可积函数，故 同理可得， 方法二 令，因为， ，故不是瑕点. ， ，. 收敛，故收敛 对任意给定的，因为， 所以对一致收敛，由的任意性知 同理可知. （推广形式的可微性定理）设与在区域上连续，若在上收敛，对任意给定的，在上一致收敛，则. 在内积空间中，定义内积为 ，. 则三角函数系为中规范正交系 由预备知识4 不等式知，若函数在上可积，则 . 由预备知识5得黎曼—勒贝格引理，若函数在上可积，则 . . 由预备知识6及定理知，上述三角函数系是中完全规范正交函数系，于是在希尔伯特空间中成立帕塞瓦尔等式，即 . 即若函数在上按段光滑，则有 . 证明 . 解 考察函数在上的傅里叶级数展开式得： 故由帕塞瓦尔等式有： , 即 . 计算. 解 由逐项积分定理可得，. 计算 解 ，，故存在，从而存在，且二者相等. . 一种错解：令则. 上式最后一步为：无意义. 例6 计算. 解： 注意到.因而 ，, 又.所以 . 例7 计算. 解 利用Fubini定理，. 例8 设，在上可积，如果对任何有界可测函数，都有 则于. 证明：对任意，设是的特征函数，则 所以，同样，故 又因 所以 即 于. 例子 若连续，在上可积，如果对任何是上的有界连续函数 ，都有 , 则 . 例9 证明：若在