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2014年第届数学建模联赛
承 诺 书
我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与本队以外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们愿意承担由此引起的一切后果。数学建模联赛
我们参赛:我们的参赛报名号为:参赛组别(本科或专科):参赛队员 (签名) .
日期: 年 月 日
获奖证书邮寄地址:
2014年第届数学建模联赛
编 号 专 用 页
竞赛评阅编号(由竞赛评委评阅前进行编号):
竞赛评阅编号(由竞赛评委评阅前进行编号):
参赛队伍的参赛号码:(请各参赛队提前填写好):
2014年第届数学建模联赛
题 目
摘要
问题重述
飞机是远距离航行的交通方式之一,其主要特点是速度快,安全性高。据统计,飞机是汽车、火车、轮船等几种交通方式中事故率最低的交通方式,但是飞机一旦发生事故,乘客的生还几率非常小。黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一,它能记录各种飞行参数,供事故分析使用。黑匣子记录的参数包括:飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两小时的飞行高度、速度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等。
假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故,此时飞行高度为10000米,飞行速度是800公里/小时,航向东北方向45°,飞机在地面的投影位置为南纬22.0度,东经88.0度。
请建立模型求解以下问题:
假定飞机在发生事故时突然失去动力,考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响,建立数学模型,描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。
假设黑匣子落水之后,不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响,建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。如图1所示,假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1,落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海,给出黑匣子沉在海底的位置,并指出在图形中的哪个区域范围。
图1 黑匣子在水下沉降过程中的海底剖面图
考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响,建立模型描述在有洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程,并求解出黑匣子沉入水下1000m,2000m和3000m时离落水点的方位。
基本假设
空气密度ρ与高度有关,假设每上升1000米空气密度下降10%。
根据高度不同把高空分为三个阶段,假设每一个阶段的空气阻力系数为常数。
假设飞机在坠落过程中与空气的接触面积为常数。
假设在很小的时间Δt内,飞机的运动视为匀变速运动。
假设飞机在坠落过程中受到的空气气流影响只有一个与运动速度反向的阻力。
假设海水的阻力系数和海水的粘性系数均为常数。
假设流体摩擦力与相对速度成正比,与流体粘性系数成正比,并与黑匣子的形状有关。
假设黑匣子落水后分为两个根据水深分为两个阶段,且第一阶段500米左右只受到一股洋流的影响,500米以下不受洋流影响。
符号说明
各符号及其含义见表1
符号 含义 ρ 空气密度 CD 空气阻力系数 A 飞机坠落与空气的接触面积 ax 飞机运动时水平方向的分加速度 ay 飞机运动时竖直方向的分加速度 Vx 飞机运动时水平方向的分速度 Vy 飞机运动时竖直方向的分速度 f 飞机运动时受到的空气阻力 θ 飞机合速度与竖直方向的夹角 k 流体阻力系数 ρ1 黑匣子的密度 ρ0 海水的密度 μ 流体粘性系数 λ 黑匣子击水的速度变化系数 V1 洋流流速
问题一模型的建立与求解
问题分析
受力分析图:
图一 飞机空中受力情况
飞机运动时受到的空气阻力公式[1]为:。飞机发生事故后,只受到向下的自身重力和与运动速度反向的空气阻力,把整个运动情况分为水平和垂直两个方向考虑。其中,在水平方向由牛顿第二定理及空气阻力公式得:,其中竖直方向[2]:,已知水平方向的初始速度Vx(0)=800m/s,竖直方向的初始速度Vy(0)=0。
模型建立
在假设中很小的时间Δt内,飞机的运动视为匀变速运动,由
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