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“喷水鱼洗”实质上是一个盆边带有双耳的铜盆. 当用手摩擦盆边的双耳时，盆内的水会浪花飞溅. 第7章 机械振动 1. 简谐振动方程 2. 简谐振动的相位 ( ? t + ? ) 是 相位，决定 t 时刻简谐振动的运动状态. 3. 简谐振动的运动微分方程 4. 由初始条件振幅和初相位 五.旋转矢量法 ? ? t + ? o x x t t = 0 ? v a 特点:直观方便. · · 速度方向? A 谐振动 旋转矢量 ? ?t+? ? T 振幅 初相 相位 圆频率 谐振动周期 半径 初始角坐标 角坐标 角速度 圆周运动周期 物理模型与数学模型比较： x v0 0 v0 0 0 x0 A/2 例： 答： 用旋转矢量法研究振动合成也很方便。 利用旋转矢量法确定简谐振动的初位相: (1)由x的值得两根矢量 (2)根据速度的正负取其一 [例题]已知简谐振动，A= 4 cm，? = 0.5 Hz, t =1s时x =-2cm且向x正向运动，写出振动表达式。 ? t = 0 x A t = 1s时 矢量位置 X=-2 ? = ?/3， x = 4cos(?t + ?/3 ) cm 六 .谐振动的能量(以水平弹簧振子为例) 1. 动能 2. 势能 3. 机械能 （简谐振动系统机械能守恒） m x O E x O A ?A o -2.0 t 2.0 1.0 4.0 x 解（1）求振动方程 解（2） —— 运动学方程 例 有一振动曲线，如图示。试求物体振动方程和第一次通过零值的时间。 解： 例 连通管中液体柱的运动，如图示。 已知液体的总质量为 ，忽略粘滞阻力。 求振动周期。 解： 液体柱内各部分具有相同速率。 t 时刻，系统动能为 t 时刻，系统势能为 t 时刻，系统机械能 —— 机械能守恒 ? 时间求导： 七. 简谐振动的实例分析 主要内容： 1. 单摆 2. 复摆 3. 扭摆 4. 双原子分子内原子的振动 1. 单摆 以小球为研究对象，作受力分析. 设　角沿逆时针方向为正. P 重力, T 绳的拉力. 沿切向方向的分量方程为 （小角度时） 令 结论: 小角度摆动时，单摆的运动是谐振动. 周期和角频率为： （牛顿第二定律） 七. 简谐振动的实例分析 如图所示, 设刚体对轴的转 动惯量为J.? 设 t = 0 时摆角向右最大为 ?0. 求 振动周期和振动方程. 解 单 摆 振动方程 2. 复摆（物理摆） （刚体绕定轴转动定律） 3. 扭摆 以圆盘为研究对象 在　（扭转角）不太大时， （刚体绕定轴转动定律） 令 结论: 在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动. 周期和角频率为： 金属丝 x y z （D为金属丝的扭转系数） 圆盘受到的力矩为 4.弹簧的串并联问题 思考1：等分n段，每段k0=? 思考2：n段串联，等效k0=? k0=nk k0=k/n 已知如图所示,以盘M和物体m相碰瞬间为计时零点(t=0),令碰后平衡位置为原点,求振动方程 k m h M o x 任意x位置处受力有 初静止时,弹簧伸长为 有 碰后平衡位置处,弹簧伸长为 有 将(2)代入(3)得 令振动方程为x=Acos(? t+? ) 解 系统固有特性 t =0 例 静平衡点为坐标原点 k m h M o x 例 如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为 l ，质量为 m ，竖直部分杆长为 2l ，质量为 2m ，细杆可绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。 求 杆作微小摆动时的周期。 解 能量的方法 (t 时刻系统的能量) （其它步骤同上） §7.2 简谐振动的合成 一. 同方向同频率的简谐振动的合成 1. 分振动 : 2. 合振动 : 结论：合振动 x 是同频率的简谐振动 分振动 合振动 结论：与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷. 旋转矢量法处理谐振动的合成 讨论: (1)若两分振动同相,即 ? 2?? 1=?2k? (k=0,1,2,…), (2)若两分振动反相,即 ? 2?? 1=?(2k+1)? (k=0,1,2,…), 当 A1=A2 时, A=0. 则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强， 则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱， 当 A1=A2 时 , A=2A1, 有三个同方向、同频率的简谐振动，振动方程分别为: 试求合振动的振动方程 例 x O A A1 A2 A3 ? 合振动方程 合振动初相位?为 合振动振幅为： 解 例 设有 n 个同方向、同频率、振幅 a 相同、初相差依次为一常量ε的谐振动，它们的振动分别为 … … 3. n 个同方向同频率谐振动的合成