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第一章 函数、极限、连续练习题答案 1用区间表示满足下列不等式的所有的集合： （1），（2），（3）， （4），（5） 解：（1），（2）（3）， （4），（5） 2下列给出的各对函数是不是相同的函数？ （1）与 解：定义域不同，不是相同的函数。 （2）与 解：定义域不同，不是相同的函数。 （3）与 解：法则不同，不是相同的函数。 3确定下列函数的定义域 （1）（2） （3） （4） 解：（1） 4确定下列函数的定义域 （1） （2） 解：（1） ; （2） 5设，求及的定义域。 解： 的定义域: 6用铁皮做一个容积为V的圆柱形罐头筒，试将它的全面积表示成底半径的函数，并确定此函数的定义域。 解：设全面积为，底半径为，高为已知， 有，而代入得 ，定义域 7拟容积为V的长方形水池，设它的底为正方形，如果池底单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍，试将总造价表示成底边长的函数，并确定此函数的定义域。 解：设总造价为,底边长为，四周单位面积造价为,则水池深为， 四周面积为， 于是有 8设生产与销售某产品的总收益是产量的二次函数，经统计得知：当产量时，总收益，试确定总收益与产量的函数关系。 解：设，有已知，，， 联立方程组解得： 所求函数关系为： 9 某商品供给量对价格的函数关系为，已知当时，；当时，；当时，。求供给量对价格的函数关系。 解：由已知，，， 联立方程组解出，所求函数关系为： 10某化肥厂生产某种产品1000吨，每吨定价130元，销售量在700吨以下时，按原价出售，超过700吨时，超过的部分打九折出售，试将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出。 解：设销售总收益为，总销售量为， 11 求下列函数的反函数： （1） （2） （3） （4） 解：（1）； （2） （3）； （4） 12 下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成的？（其中为常数） （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：（1）， （2）， （3）， （4） （5）， （6） 13设，作的图形，并讨论当时，的左右极限 解：，， 所以不存在 14证明不存在。 证明：；， 由于，所以不存在。 15函数在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？ 解：由于，所以当时，是无穷大量； 由于，所以当时，是无穷小量。 16当时，下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？哪些既不是无穷小量也不是无穷大量？ 解：当时，是无穷小量； 当时，是无穷大量。 17当时，上题中的变量，哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？哪些既不是无穷小量也不是无穷大量？ 解：当时，是无穷大量； 当时，是无穷小量 18求下列各极限 ； 解： 解： 解： ； 解：，，有， 故其倒数为无穷大量，即。 解： 解： 解： 解： ； 解：分子分母同除以， 解：分子分母同除以，有 ； 解： ； ； 解: ； 解： ； 解： ； 解： ； 解：，是个有界量，因此。 。 解： 19设，求 解： 20设分别讨论和时，的极限是否存在。 解：；，由于，不存在。 ；，由于，。 21若极限，求的值。 解：由于极限中分母在时趋于，且整个极限存在，因此分子的极限也必须为，否则整个极限将趋于，故有，所以 22若极限，求的值。 解： 要想此极限成立则必有，，因此有 23当时，试将下列无穷小量与无穷小量进行比较： ； ； 解：由于为常数，因此二者是同阶无穷小量； 因此二者为等价无穷小量。 24求下列极限： 解： 或 解： 解： 解：令 解： 。 解： 25求下列极限： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 26 用等价无穷小量代换求下列极限： 解：由于时，，所以 解：由于时，，所以 解：由于时，，，，因此 27求下列函数的间断点，并判断间断点的类型 ； 解：函数在处没有定义，是间断点， 又因为，函数在该点处极限不存在， 因此点是函数的无穷间断点，属第二类间断点。 ； 解：函数，因此处是间断点， 在处，，此点是第一间断点，且是可去间断点，若补充定义，令，则函数在处成为连续。 在处，，此点是无穷间断点，是第二类间断点。 ； 解：函数在处无定义，因此处是间断点， 又因为，所以是第一类间断点，为可去间断点。 若补充定义，令，则函数在处连续。 ； 解：分段函数在分段点是可能的间断点，由于间断点两侧函数的表达式不同，因此要考虑左右极限，如下： 在处，，，由于， 所以函数在此点间断； 在处，，，即 ，因此函数在此点极限存在，由于， 所以函数在此点连续。 28函数在点处是否连续？作出的图形。 解：由于，，为第一类跳跃型间断点。 29给下列函数补