第02讲第2章线性系统的数学模型.pptVIP

第2章 控制系统数学模型 第2章 线性系统的数学模型 内 容 提 要 知 识 要 点 * * 实际存在的自动控制系统可以是电气的、机械的、热力的、化工的，甚至是生物学的、经济学的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同。本章介绍了系统的各类数学模型如微分方程，传递函数，方框图，信号流图的求取以及它们之间的相互关系。 线性系统的数学模型，拉普拉斯变换，传递函数的定义，非线性特性的线性化处理，方框图的简化，梅逊公式的含义和应用。 描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。 导论 常用的数学模型:微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间表达式等。 建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。 § 2.1 控制系统的微分方程 （4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方程。 2.1.1系统微分方程的建立 （1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可考虑列写一个方程； （2）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化； （3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程； 例2-1 试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输入为ui(t)，输出为u0(t) 。 解 根据基尔霍夫定理，可列出以下式子： 整理得： 令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得 该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。 例2-2 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间的微分方程。 解 弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t)，根据牛顿第二定律有 ： 其中F1(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出 式中 k —— 弹簧系数 f —— 阻尼系数 整理且标准化 令 称为时间常数； 称为阻尼比； 称为放大系数。 得 例2-3 电枢控制的它激直流电动机如图所示，电枢输入电压u0(t)，电动机输出转角为Θ。Ra、La、ia(t)分别为电枢电路的电阻、电感和电流，if为恒定激磁电流，eb为反电势，f为电动机轴上的粘性摩擦系数，G为电枢质量，D为电枢直径，ML为负载力矩。 解:电枢回路电压平衡方程为 ce为电动机的反电势系数 力矩平衡方程为 式中 为电动机电枢的转动惯量 为电动机的力矩系数 整理得 —电机转速 —电磁时间常数 —机电时间常数 —时间常数 —无量纲放大系数 —电机传递系数 例2-4 热水电加热系统，如图所示，为减小周围空气的热损耗，槽壁是绝热的，控温元件是电动控温开关。 根据能量守恒定律 其中 Qh—— 加热器供给的热量； QC—— 贮槽内水吸收的热量； Q0—— 热水流出槽所带走的热量: Qi—— 冷水进入槽带入的热量: Ql—— 隔热壁逸散的热量: C—贮槽水的热容量；V—流出槽水的流量；H— 水的比热；R—热阻；Ti—进入槽水的温度；T—槽内水的温度；Te—槽周围空气温度。 整理得 一般情况下，描述线性定常系统输入与输出关系的微分方程为 : 或 2.1.2 非线性方程的线性化 实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。