有限单元法-20130524.ppt

第二部分 有限单元法( Finite Element Method ) 概述 有限差分法和有限单元法是两种常用的数值离散方法。 变分法和加权剩余法是有限单元法离散的量两种主要方法。 有限单元法最早应用于固体力学问题（变分法），后来拓展到流体力学问题（加权剩余法）。 本课程只介绍加权剩余法中的伽辽金法 (Galerkin Method) 。 第四章 有限单元法的预备知识 第一节 线性空间及线性算子 线性空间的基本概念 线性空间 连续函数空间 内积及其性质 范数 线性独立的函数集 闭集 线性算子的基本概念 线性算子 自共轭算子 正定的自共轭算子 线性空间 (Linear Space) 设V 是一个非空集合，R 为实数域．如果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作：γ=α+β 若对于任一数λ∈R 与任一元素α，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的积，记作δ=λα 如果上述定义的两种运算满足以下八条运算规律，那么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）。 线性空间 (Linear Space) 连续函数空间 所有定义在区间[a, b] 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域 R 上的线性空间，此线性空间称为连续函数空间，记作 C [a, b]。 连续函数空间满足线性空间的八条计算规律。 内积 (Inner Product) 连续函数空间C [a, b]中两个函数的内积可定义为 内积的性质 范数 (Normal Number) 连续函数空间中，范数可定义为内积的平方根。 线性独立的函数集 如果线性空间中的一组函数 ,组成下面的等式 仅当上式中所有的系数 都等于零时等式才成立，则称 为线性独立的函数集。 闭集 (Closed Set) 如果存在一个数 N 和一组系数 ，对于某一个连续可微函数 u，当 时 则称线性独立的函数集 为闭集。其中 为基函数， 为系数。 线性算子 (Linear Operator) 如果一个运算过程施加于一个函数 u 得到另外一个函数 p ， 则称该运算过程为算子。 如果算子 满足条件 则称该算子为线性算子。 自共轭算子 如果一个线性算子形成一个方程组， 该线性方程与另一个函数组成内积 ,对该内积进行分部积分形成与其对应的另一个内积 ，如果 L 与 L* 在形式上相同，则称算子 L( ) 为自共轭算子。 自共轭算子 如果一个线性算子形成一个方程组， L(u) 与 L*(v)在形式上完全相同 函数F(v), G(u), F(u), G*(v) 为是分部积分过程中得到的对 u 和 v 的导数项。 函数 F(u) : 本征边界条件 (Essential boundary condition) 函数 G(u) : 自然边界条件 (Natural boundary condition) 齐次边界条件 三种边界条件形式 当 fi (i=1,2,3) = 0 时边界条件称为齐次边界条件。 正定的自共轭算子 如果函数 u 满足齐次边界条件，且函数 u 的自共轭算子满足 则称该算子为正定的自共轭算子。 例题 判断以下算子是否为正定的自共轭算子 例题解答 例题解答 第二节 伽辽金法的基本思想 加权剩余法(Weighted Residual Method) 伽辽金法(Galerkin Method) 加权剩余法 (Weighted Residual Method) 设有一线性方程 边界条件 u0 是方程的精确解，如果用一组函数 组成一个 近似解 ? 逼近精确解 u0 ， 这里 是待定的系数， 是取自某个闭集的线性独立的函数（ 为基函数。）。 加权剩余法 (Weighted Residual Method) 将 ? 代入原方程 其中R 称为剩余 (residual)。 取某权函数 ，将剩余R 和边界条件一起构成如下积分： λ是 拉格朗日乘数，Ω是计算区域，S是计算区域的边界。 加权剩余法 (Weighted Residual Method) 上式中 只包括边界条件的梯度项（或称自然边界条件）。如果权函数是取自某个闭集的一组线性独立的函数，则剩余与每一个权函数正交，上述积分恒等于零。 伽辽金法 (Galerkin Method) 如果权函数 取为基函数