20.2矩形的判定 学案一.docVIP

20．2《矩形的判定》学案一 学习目标： 1．在探索矩形的判别条件中，理解并掌握用对角线来判定矩形的方法． 2．会综合运用矩形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 重点：理解和掌握矩形的判定定理. 难点：几何推理方法的应用. 激活思维 1．请你画一个矩形，并画出它们的对角线．观察图形，你能说出它有哪些性质吗?试一试． 2． 叫做矩形． 3．矩形的对边________；四个角都是___________；对角线___________。 4．____________________的平行四边形是矩形． 教材研学 一、矩形的性质回顾 1．矩形的性质 （1）矩形具有平行四边形的一切性质； （2）矩形对角线 ； （3）矩形的四个角都是 ； （4）矩形既是轴对称图形，又是 对称图形．对称轴有 条，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中 ． 2．矩形性质的图形说明 如图20—2—1，在矩形ABCD中， 从边上看：AB∥ ，AB= ；AD∥BC，AD=BC． 从对角线上看：AC=BD且OA= = =OD。 从角上看：∠ABC＝∠ ＝∠ ＝∠DAB＝90°． 问题：根据上面矩形的性质分析可得直角三角形的一个什么性质? 回答：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．如：在Rt△ABC中，O是斜边AC的中点，则AC=2 ． 二、矩形的判定 如图20－2－2 1．利用定义判别 平行四边形矩形 2．利用对角线判别 对角线相等的平行四边形是矩形； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 即：①在平行四边形ABCD中， 若AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形； ②在四边形ABCD中，若AC=BD，且OA＝OC、OB=OD， 则四边形ABCD是矩形． 3．利用角判别 四个角是直角的四边形是矩形．即：在四边形ABCD中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则四边形ABCD是矩形．实际证明中，只要证明出三个角为直角即可． 三、矩形的应用 （1）用以证明线段相等或平分或倍数关系； （2）直角三角形两锐角互余； （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （4）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半； （5）证明两条直线垂直． 点石成金 问题1．如图20—2—5所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交 于点O，AE ⊥BD于E，则 （1）图中与∠BAE相等的角有__________； （2）若∠AOB=60°，则AB：BD＝_________。图中△DOC 是___________三角形（按边分）． 问题2．如图20—2—6所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AC=6 om，∠BOC=120°．求： （1） ∠ACB的度数； （2）求AB、BC的长度． 解：（1）∵在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相平分且相等，于是OB= ， ∴∠OBC＝ ， ∴∠ACB ＝ （ ）＝30°． （2）矩形ABCD中，∠ABC=90°，又∠ACB=30°，因此30°角所对直角边AB等于斜边AC的一半，即AB＝AC＝3cm，BC＝（cm） 名师点金：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决． 问题3．已知 ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4 cm，求这个平行四边形的面积（图20一2—7．) 解：∵四边形ABCD是平行四边形。∴△ABO≌△ 又∵△ABO是等边三角形 ∴△DCO也是等边三角形，即AO＝ ＝ ＝DO ∴AC＝BD∴ ABCD为矩形。 在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90° ∴BC＝ AB，即BC＝ cm S ABCD＝AB·AC＝ cm2 名师点金：本题首先判定平行四边形是矩形，再利用矩形的面积公式来计算． 同步升级演练 基础巩固题 1．下列命题中错误的是（ ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 2.下列条件：①已知矩形的边和一条对角线长；②