[初三数学]第2讲 不等式选讲.ppt

6.已知函数f(x)=15-|5x-4|-|5x+3|,则不等式 f(x)≥8的解集为 . 解析 由题意， f(x)= 函数图象如图所示， 由图象可知f(x)≥8的解集为 三、解答题 7.（2008·徐州三检）设f(x)=x2-x+1,实数a满足|x- a|1,求证：|f(x)-f(a)|2(|a|+1). 证明 ∵f(x)=x2-x+1, ∵|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a| =|x-a|·|x+a-1||x+a-1|， 又∵|x+a-1|=|（x-a）+2a-1| ≤|x-a|+|2a-1|1+|2a|+1=2（|a|+1）. ∴|f（x）-f（a）|2(|a|+1). 8.（2009·海门中学调研）已知实数x、y、z满足 x2+4y2+9z2=a(a0),且x+y+z的最大值是7,求a的值. 解 由柯西不等式： * 第2讲 不等式选讲 1.备考中要重新认识自然界中不等关系和相等关系 这两种基本的数学关系，认真体会两种基本关系 在数学研究和数学应用中所起的重要作用，了解 不等式及其证明的几何意义与背景，加深对各不 等式的数学本质的理解. 2.备考中要着力提高逻辑思维能力、分析问题与解 决问题的能力.不等式研究的对象主要是“代数 式”，其间的变形与证明还体现了代数运算能力 和数据处理能力，这两种能力是新课标考试说明 要求所必须考查的. 3.变形和证明中要着力理解不等式的背景和它们所 体现的数学思想，对一些技巧不作更多的要求， 不要将变形与证明陷于复杂的形式化中. 4.证明不等式主要使用比较法、综合法、分析法， 其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法只要求 了解即可. 5.大小比较、解不等式与最值问题是研究和学习的 重点. 一、大小的比较 例1 （2008·苏南四市调研）设a∈R且a≠-2, 比较 的大小. 解 探究提高 作差法比较大小是研究不等关系的主要方法之一，也是基本方法，务必熟练掌握.其一般程序为：“作差—变形—定号—结论”,当“差”的符号不唯一，需分情况而定时，讨论便为必需. 变式训练1 数列{an}由下列条件确定：x1=a0, xn+1= n∈N+.求证： （1）对于n≥2总有xn≥ (2)对于n≥2总有xn≥xn+1. 证明 （1）由x1=a0及xn+1= 得xn0（n∈N+）, 二、不等式的证明 例2 （2009·南京调研）已知f(x)= a≠b, 求证：|f(a)-f(b)||a-b|. 证明 方法一 方法二 探究提高 分析法是一种重要的表达思维过程的 形式,其特点是分析结论成立的“条件”，再转证 这个“条件”成立，表达方式上为“要证A，只需 证B”，通过“证B”达到“证A”的目的.这是我 们研究和解决问题、探寻解题思路最常用的方法. 备考中务必引起高度重视，熟练掌握和运用.常 言“执果索因”即指该法.另外，它与综合法在表 达思维顺序上恰好相反,综合法是“由因导果”, 是常用的表述思维过程的方法，注意鉴别、体会 理解.方法二中的放缩法虽然表达简捷，但对技能 技巧要求较高. 变式训练2 证明不等式： (a≥c,b≥c0)，并指出等号成立的条件. 证明 因为ab0,要证原不等式成立， 例3 （2009·苏中三市调研）已知x、y、z均为 正数，求证： 证明 因为x,y,z全为正数. 探究提高 用“基本不等式”证明不等式成立与否，过程凝炼、明快，但对能力要求较高，要认真分析待证式的结构特点，依具体特征恰当的选用“基本不等式”切入，必要时辅以拆项、添项、去项、分组处理等变形技巧，还要注意考察等号成立的条件是否能满足. 变式训练3 （2009·苏、锡、常、镇调研）已知a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b) 9a2b2. 证明 因为a,b是正实数， 所以a2b+a+b2≥ (当且仅 当a2b=a=b2即a=b=1时，等号成立)； 同理：ab2+a2+b≥ （当且仅 当ab2=a2=b即a=b=1时，等号成立）； 所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2. 因为a≠b,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2. 三、不等式的应用 例4 （2008·苏、锡、常、镇调研)设实数 x,y,z满足x2+2y2+3z2=3,求S=x+2y+3z的最大值. 解 构造两组数： 利用柯西不等式，得 探究提高 “构造