高一精选题库习题 数学5-1.docVIP

第5模块 第1节 [知能演练] 一、选择题 1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 解法一：∵an＋1－an＝－ ＝0， ∴an＋1an，数列{an}为递增数列． 解法二：研究函数f(x)＝(x0)的单调性， f(x)＝＝＝－，∴f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(n＋1)f(n)，故an＋1an，数列{an}为递增数列． 答案：A 2．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于(　　) A. B. C. D. 解法一：由已知得a1·a2＝22，∴a2＝4. a1·a2·a3＝32，∴a3＝， a1·a2·a3·a4＝42，∴a4＝， a1·a2·a3·a4·a5＝52，∴a5＝. ∴a3＋a5＝＋＝. 解法二：由a1·a2·a3·…·an＝n2，得a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，∴an＝()2(n≥2)， ∴a3＋a5＝()2＋()2＝. 答案：A 3．若数列{an}的通项公式an＝，记f(n)＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)为(　　) A. B. C. D. 解析：f(1)＝2(1－a1)＝＝， f(2)＝2(1－)(1－)＝＝， f(3)＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3) ＝2(1－)(1－)(1－)＝＝， 可猜测f(n)＝. 答案：C 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5ak8，则k等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：∵Sn＝n2－9n， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10. 又当n＝1时，a1＝S1＝－8也适合上式， ∴an＝2n－10，又52k－108，k9，∴k＝8. 答案：B 二、填空题 5．数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2008项为________． 解析：∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝， ∴a3＝2a2＝，∴a4＝2a3＝， a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝…， ∴该数列的周期为T＝4.∴a2008＝a4＝. 答案： 6．已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)an＝nan＋1，则数列{an}的一个通项公式an＝________. 解法一：由a1＝1，(n＋1)an＝nan＋1， 可得a2＝2，a3＝3，a4＝4， ∴数列的通项公式an＝n. 验证：当an＝n时，(n＋1)an＝nan＋1成立． 解法二：由(n＋1)an＝nan＋1可得＝. ∴当n≥2时，＝，＝，…，＝，＝2. 将以上各式累乘求得＝n，∴an＝n，而n＝1时也适合． ∴数列的通项公式为an＝n. 答案：n 三、解答题 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1＋Sn)＝n＋1，求数列的通项公式． 解：Sn满足log2(1＋Sn)＝n＋1，∴1＋Sn＝2n＋1， ∴Sn＝2n＋1－1. ∴a1＝3，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n(n≥2)， ∴{an}的通项公式为an＝ 8．在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn. (1)求证：an＋3＝an； (2)求a2008. (1)证明：an＋3＝1－＝1－ ＝1－＝1－ ＝1－＝1－ ＝1－＝1－(1－an)＝an.∴an＋3＝an. (2)解：由(1)知数列{an}的周期T＝3， a1＝，a2＝－1，a3＝2. 又∵a2008＝a3×669＋1＝a1＝.∴a2008＝. [高考·模拟·预测]1．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2＝(　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 解析：取n＝1得a1＝2(a1－1)，所以a1＝2，再由n＝2得2＋a2＝2(a2－1)，所以a2＝4. 答案：A 2．在数列{an}中，若a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)，则通项an是(　　) A. B. C. D. 解析：将3anan－1＋an－an－1＝0的两边同时除以anan－1(anan－1≠0)得：3＋－＝0，－＝3，故数列{}是首项为1，公差为3的等差数列，＝＋(n－1)×3＝3n－2，故通项an＝. 答案：D 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n(20－n)，则当anan＋10时，n＝________. 解析：由Sn＝n(20－n)得， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(20－n)－(n－1)[20－(n－1)]＝－2n＋21； 当n＝1时，a1＝S1＝1×(20－1)＝19＝－2×1＋21.