[工学]05几何造型.ppt

几何模型构造 几何模型元素 自由曲线的数学描述 自由曲面的数学描述 基本体描述 几何模型在计算机内部的表示 几何模型构造 分数维造型 几何模型元素 点 0维几何元素,端点、交点、切点和孤立点等。 控制点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面不一定经过的点。 型值点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面一定经过的点。 插值点：为了提供曲线和曲面的输出精度，在型值点之间插入一系列的点。 边 1维几何元素，不自交。直线边由端点定界，曲线边一般由端点及一系列型值点和插值点来确定。 几何模型元素 面 2维几何元素, 是形体上一个有限、非零的区域，由一个外环和若干个内环界定其范围。面有方向，用其外法矢方向作为该面的正向。 环 环是有序、有向边组成的面的封闭边界。环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点。确定面的外界的环称为外环，通常走向按逆时针方向。而把确定面中内空边界的环称为内环。走向按顺时针方向。 左总是面内，右总是面外。 几何模型元素 体 3维几何元素，由封闭表面围成的空间。其边界是有限面的并集。 几何模型构造 几何模型元素 自由曲线的数学描述 自由曲面的数学描述 基本体描述 几何在计算机内部的表示 几何模型构造 分数维造型 自由曲线的数学描述 曲线和曲面的三种表示: 显式y=f(x)：直线y=kx+b 一个x对应一个y，显式表示不能表示封闭和多值曲线 隐式f(x,y)=0：ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0圆锥曲线 参数式x=x(t),y=y(t) 非参数方程表示的曲线有下述缺点： 与坐标轴相关 出现斜率为无穷大的情况 非平面曲线曲面很难用非参数化表示 不便于计算和编程 自由曲线的数学描述 参数表示 平面曲线上的每个点的坐标均要表示成一个参数式,如参数t,则曲线上的每个点的坐标的参数式是： 参数方程的优点： 1、有更大的自由度来控制曲线曲面的形状 2、与坐标轴无关 3、便于处理斜率无穷大的问题，不会因此而中断计算 4、用参数表示曲线时，因为参数变量是规范化的，t的变化限制在[0,1]范围内，所以曲线总是有界的。 自由曲线的数学描述 自由曲线综述 完全通过给定点列（称型值点）来构造曲线的方法称为曲线的插值。求出几何形状上与给定的型值点的连线相近似的曲线称为曲线的逼近，这种曲线不必通过型值点列。 由插值和逼近法生成的曲线称为样条曲线。 插值法：三次样条曲线 逼近法：Bezier曲线、B样条曲线、NURBS曲线 曲线曲面的离散点表示 曲线和曲面可由给定数学函数生成，或由用户给定一组数据点生成。 数学函数：规则曲线和规则曲面： 圆、抛物线、螺旋线等曲线和球、圆柱、圆锥等曲面都不难用数学方程式表示出来，这类曲线和曲面分别称为规则曲线和规则曲面。 数据点：自由曲线和自由曲面： 曲线和曲面的形状相当自由又不规则，如飞机机翼、汽车车身、人体外形、卡通形象等，很难用数学式表示，这样的曲线和曲面分别称为自由曲线和自由曲面。 当用离散坐标点来指定物体形状时，则要根据应用要求得到最贴近这些点的函数式描述。 样条是这类曲线和曲面的范例。 离散点拟合曲线和曲面的方式 自由曲线和自由曲面一般通过少数分散的点生成，这些点叫做“型值点”或“样本点” 。 要根据应用要求得到最贴近这些点的函数式描述。这种情况称为“曲线曲面的拟合” 在进行曲线曲面拟合时，一般遇到以下三种情况： 插值：利用一些数学方法是曲线曲面按要求通过已知的点，而且具有一定的光滑流畅程度。 逼近：曲线曲面不一定通过给定的点，但是靠近各点，每个点对曲线曲面都有某种看不见的吸引力。 设计：已知的点太少，需要根据实际情况增加一些控制点，然后用上述两种方法之一生成曲线曲面。 参数样条曲线 参数样条曲线可从“参数”和“样条”这两个意思上去理解。 参数是指曲线方程中使用的自变量，当它在某个范围内改变时，对应坐标点在曲线上移动。 “参数曲线”是指用参数作为自变量的函数曲线， 样条曲线的概念 在绘图术语中，样条是通过一组指定点集来生成平滑曲线的柔性带。 样条原指一种绘图工具，它用柔软细长的弹性木条或金属条构成。绘图员可使之弯曲变形，以便通过若干已知的数据点，然后用铅笔顺着它将曲线绘出。 数学中的样条含意是指模仿上述过程的一种的数学方法，用这种方法生成的曲线叫做“样条曲线”： 样条曲线通常有多段低次曲线段构成，用分段多项式函数来描述，其连接处有连续的一次和二次导数 。 其中三次样条曲线段最为常见：所谓三次是指曲线用多项式表示时，多项式中幂的最高次数是3。 三次插值样条曲线 插值样条大多用来建立物体运动路径或提供实体表示和绘画，有时也用来设计物体形状。