[工学]11复数及其代数运算1.ppt

函数与极限 到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用． 柯西——? 复变函数论的奠基人之一 柯西（Cauchy，1789-1857），十九世纪前半世 纪的法国数学家。证明了复变函数论的主要定理 以及在变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。 A.-L.柯西定义了复变函数的积分，建立了复积分的理论，他证明了柯西积分定理 。 ?用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点 。 柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。 18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没 有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这 种积分来研究多种多样的问题 。 黎曼——? 复变函数论的奠基人之一 黎曼，19世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。黎曼1826年9月17日生于汉诺威的布列斯伦茨，1866年7月20日卒于意大利的塞那斯加，终年40岁。 1851年，在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文 。 在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。 经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的 待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值 函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极 大地推动了拓扑学的初期发展。 魏尔斯特拉斯——复变函数论的奠基人之一 魏尔斯特拉斯，K．W．T．(Weierstrass，Karl WilhelmTheodor)1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林．数学． 在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数 与复n维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函数. 所确定的隐函数zv=hv(zm+1，…，zn) (v=1，…，m)可展开为幂级数的定理． 魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献， 是他于1860年讲课中提出并于1879年发表 的“预备定理” 第一节 复数及其代数运算 一、复数的概念 三、小结与思考 第1.1.2节 复数的几何表示 一、复平面(z平面) 二：复球面 三、小结与思考 作业 X y 0 练习 是不是永远成立； 练习 例3 求 Arg (-3-4i) 利用复数的模与辐角,我们给出复数的两个非常重要的表示法 1. 复数的三角表示法 x x y 0 2: 复数的指数表示法 例4 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三角表示式为 指数表示式为 故三角表示式为 指数表示式为 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 证 [证毕] 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 说明 由于辐角的多值性, 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 例如， 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况: 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 定理二 证 按照商的定义, [证毕] x y z 0 二.扩充复平面 一.复数的球面表示 * * 主讲人: 胡 晓 晓(674067) 办公室: 7 B325 huxiaoxiao@wzmc.net 复数是16世纪人们在解代数方程时引入的． 1954年，意大利数学物理学家 在所著《重要的艺术》一书中列出 将10分成两部分，使其积为40的问题 即求方程x(10-x)=40的根 ,它求出形式的根为 因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点． 直到十八世纪 等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了 系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数． 复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的 三人的工作进行的． 一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考 一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考 一、复数的概念 二、复数的代数运算 1. 虚数单位: 对虚数单位的规定: 虚数单位的特性: …… 2.复数: 1: 两个复数相等?? 2: Z=0 思考：两个复数能比较大小吗？ 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小,