[工学]5-4复频域分析.ppt

* 5.4 复频域分析 一、微分方程的变换解（复频域求解）； 二、系统函数； 三、系统的S域框图； 四、电路的S域模型（不讲）； 五、拉普拉斯变换与傅立叶变换； 一、微分方程的变换解(以一个二阶微分方程为例） 初始状态 对方程两边取拉普拉斯变换： 设 时接入的 初始状态 特征多项式 特征多项式 零输入响应的象函数 零状态响应的象函数 即 例5.4-1 描述某LTI连续系统的微分方程为 已知输入 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应 解：对微分方程取拉普拉斯变换，有 整理得 即 例5.4-2 描述某LTI连续系统的微分方程为 已知输入 求 和 。 解： 所以，只要先求出零状态响应即可。 由0+求0-值的问题 由上题 在第二章从时域角度讨论了系统全响应中 的自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应 的概念。这里再从S域来讨论，进一步明确零输入、零状态与自由响应和强迫响应的函数形式之间的关系。 例5.4-4 描述某LTI系统的微分方程为 已知初始状态 激励 ，求系统的零输入,零状态,全响应 解： 本例中，系统的特征根均为负值，所以自由响应就是瞬态响应。激励函数的单极点的实部为0，强迫响应就是稳态响应。 一般而言：系统特征根的实部均为负，自由响应是衰减的，这时自由响应就是瞬态响应。 若 的极点为单极点且实部为零，强迫响应为等幅振荡或阶跃函数的形式。这时强迫响应就是稳态响应。 瞬态响应 稳态响应 1、自由响应象函数的极点等于系统的特征根。 2、系统强迫响应的象函数的极点就是 的极点， 因而其形式由激励确定。 可见：P243 1、自由响应象函数的极点等于系统的特征根 2、系统强迫响应的象函数的极点就是 的极点， 因而其形式由激励确定。 可见： 3、零输入响应象函数的极点等于系统的特征根。 4、零状态响应象函数的极点除系统的特征根外还有激励的极点两部分。P243 二、系统函数 系统零状态响应的象函数与激励的象函数 之比，称为系统函数。用 表示。 系统函数： 初始状态 特征多项式 它仅与系统的结构，元件参数有关，而与激励及初始状态无关。 由系统的微分方程很容易写出 。反之由 很容易写出微分方程。 例 已知某LTI系统的微分方程为 求系统的 。 解： 反之已知 例5.4-5：描述LTI系统的微分方程为 求系统的冲激响应 。 解： 例：5.4-6已知当 时，某LTI系统的零状 态响应 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解： 求微分方程： 问题：若已知时域框图，如何用复频域方法求响应 三、系统的s域框图 下面我们先来看一下基本运算部件的S域模型。 a a 2、加法器 1、数乘器 3、积分器（非零初始状态） 4、积分器 (零状态） 例5.4-7 某LTI系统的时域框图如图所示，已知 输入 ，求冲激响应 和零状态响 应 。 + x (t) 1 (a) 时域框图 ∫ ∫ ∑ ∑ f (t) x(2) (t) 2 3 3 - - + + x(1) (t) 解：先画出零状态S 域框图 1 ∫ ∫ ∑ ∑ f (t) x(2) (t) 2 3 3 - - + + + x(1) (t) x (t) 1 1/s 1/s ∑ ∑ F (s) 2 3 3 - - + + + X (s) sX (s) s2X (s) 例5.4-8 若已知例5.4-7系统的初始状态 ，求系统的零输入响应 。 1 ∫ ∫ ∑ ∑ f (t) x(2) (t) 2 3 3 - - + + + x(1) (t) x (t) 解： 由上题 因而零输入响应满足方程： 取上式的拉普拉斯变换，得 例5.4-9 设某LTI系统的初始状态一定。已知当 输入 时 ，系统的全响应 ；当 时 ，系统的全响应 ，求 当输入