[工学]8-1线性代数.ppt

§8.1 线性变换的概念和基本性质 8.1.1 线性变换的定义 8.1.2 线性变换的运算 8.1.1 线性变换的定义 先看一些熟悉的例子,由此导出线性变换的一般概念. 例8.1.1 设R为实数域,R上最基本的函数是线性函数 R. ， ， f(x)的定义域和值域都是R,换言之,对集合R中的每一个元素x,在映射f之下都有唯一的一个R中元素y与之对应,这种R到R自身的映射称为变换.而且,这一映射还具有保持加法和数乘运算的性质: 具有这种性质的变换称为线性变换.所以, f(x)是R到R的一个线性变换. , . 例8.1.2 考虑实二维向量空间R2,令 其中θ是取定的一个角度.则σ是R2到R2自身的映射，即是R2上的一个变换.σ也具有保持R2的加法和数乘运算的性质： 设α= (x1,y1),β = (x2, y2), 有 ， ， , ， ， 所以,σ是R2上保持加法与数乘运算的变换. 下面给出线性变换的正式定义. 定义8.1.1 设V是数域P上的线性空间,σ是V到V自身的一个映射,即对任意α∈V,在σ之下都有V中唯一的一个元素σ (α)∈V与之对应,则称σ为V上的一个变换.若变换σ还满足 . (1) ; (2) , ,β∈V,k∈P. 则称σ为V上的一个线性变换. 通常用希腊字母σ, τ, ρ,…等表示线性变换. 例8.1.3 设V是区间［a, b］上定义的次数小于n的全体实多项式所成的线性空间,令 ， ， 由于f’(x)仍是多项式且次数比f(x)小,故f’(x) ∈V,从而σ是V上的变换.又由导数性质, 故σ是V上的线性变换. . , , ， ， 例8.1.4 设V是R上的n维向量空间Rn,A是任意一个n阶实矩阵,令 此处Aα是把α看作列向量矩阵,与α作矩阵乘法所得列向量.易见Aα∈Rn,从而σ是V上的一个变换,且满足 所以σ是一个线性变换. , Rn. ; . ， ， 上例说明,任一个n阶矩阵可以定义一个Rn上的线性变换.后面将会看到,任意一个Rn上的线性变换也一定可以用一个n阶矩阵来定义.这就是线性变换和矩阵的深刻联系所在. 并非任何变换都是线性变换,下例说明了这一点. 例8.1.5 设V是实二维向量空间Rn,令 . ， ， 显见这是R2上的一个变换(自身到自身的映射). 现设α = (x1, y1), β = (x2, y2) 则 , . ， ， 所以 变换. ,即σ不是线性的 在V上的线性变换中,有两个变换具有特别的地位.即把V中每个元素α对应到零元素0的变换 易验证它是一个线性变换,称为零变换,记为 , 0: 0(α) = 0. ， ， 另一个是把V中每个元素α映射到自身的变换 显见是一个线性变换,称为单位变换,记为 下面讨论线性变换的一些基本性质. , 定理8.1.1 设σ是线性空间V上线性变换,则 . (1) σ (0) = 0； (2) ; (3) ; 线性相关,则 (4) 若 也线性相关. 证 (1) ； (2) ; (3) ; (4) 若 线性相关,则有不 全为0的数 使 . 由上面已证的(1)及(3),有 . 此式即说明 线性相关. 注意定理8.1.1中性质(4)的逆是不成立的,即线性变换可能把线性无关的元素组变为线性相关的,如零变换就是. 证毕. 定理8.1.2 设V是数域P上的线性空间,σ是V上的变换,则σ为线性变换的充要条件是 对任何α ,β∈V,k1,k2∈P成立. 证 必要性 由线性变换的定义得: . 充分性 分别取k1 = k2 =1及k2 = 0得到: 证毕. 设W是线性空间V的子空间,σ是V的线性变换,我们有下列定义 ; . 定义8.1.2 令 ,称其 ,称为W在σ之下的原象. 为W 在σ 之下的象, , 定理8.1.3 设W是V的子空间,σ是V的线性变换,则σ (W), σ -1 (W) 都是V的子空间. 证 由于0=σ (0),故0∈σ(W),从而σ (W)≠φ.由定理7.3.1,我们只要证明σ(W) 对加法和数乘运算封闭即可. 任取α ,β∈σ (W),则有α0 ,β0∈W使σ (α0) =α,σ(β0)= β,从而α +β =σ (α0) + σ (β0) = σ (α0+β0),而W是子空间,故α0+β0∈W,得到