[工学]ch2-1 导数的概念.ppt

第2章 一元函数微分学及其应用 第1节 导数的概念 第2节 求导基本法则 第3节 微分 第4节 微分中值定理及其应用 第5节 Taylor定理及其应用 第6节 函数性态的研究 第1节 导数的概念 导数的定义 导数的几何意义 可导与连续的关系 导数在科学技术中的含义-----变化率 例3 设 , 问 a 取何值时, 在 都存在 , 并求出 解 故 时 此时 在 都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 . 导数在科学技术中的含义-----变化率 1.细棒的线密度问题 * * 2010年11月8 南京航空航天大学 理学院 数学系 1. 求变速运动的瞬时速度；2. 求已知曲线 别在研究瞬时速度和曲线的 牛顿 ( 1642－1727, 英国 ) 两个关于导数的经典例子. 切线时发现导数的. 下面是 牛顿和莱布尼茨就是分 上一点处的切线；3. 求函数的最大、最小值. 微分学产生的三个源头： 牛顿(1642 – 1727) 伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分. 1665年他提出正 流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术, 并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 . 莱布尼兹(1646 – 1716) 德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计 数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 . 关于导数的两个经典例子 例1 质点作变速直线运动的瞬时速度. 设质点的运动方程为：s =s(t).则 从时刻t0到t0 +?t时间段内，质点走过的路程为： Δs=s(t0 +?t)-s(t0) 在时间间隔Δt内，质点运动的平均速度为: 当 Dt 越来越接近 0时，平均速度就越来越接近 t0 时刻的瞬时速度. 当?t?0时，取极限得质点在时刻t0的瞬时速度: 例2 曲线的切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放 例2 曲线的切线问题 割线的极限位置——切线位置 例2 曲线的切线问题 割线的极限位置——切线位置 例2 曲线的切线问题 割线的极限位置——切线位置 例2 曲线的切线问题 割线的极限位置——切线位置 例2 曲线的切线问题 割线的极限位置——切线位置 例2 曲线的切线问题 割线的极限位置——切线位置 例2 曲线的切线问题 割线的极限位置——切线位置 例2 曲线的切线问题 割线的极限位置——切线位置 例2 曲线的切线问题 割线的极限位置——切线位置 例2 曲线的切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图, 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 1.1 导数的定义 定义1.1 运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度 曲线 在 M 点处的切线斜率 切线方程为 法线方程为 导数的几何意义 导数的物理意义 右导数 左导数 单 侧 导 数 记作: 计算导数的步骤: 例1 解 即 例2 解 函数导数不存在的情形 例如, 0 例如 0 1 0 例如, 0 1 1/π －1/π 函数的可导性与连续性的关系 定理1.1 若 f (x) 在 x0 处可导，则 f (x) 在 x0 处连续. 注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导) 例如y=|x|在x=0处连续但不可导. 定理1.1 若 f (x) 在 x0 处可导，则 f (x) 在 x0 处连续. 证 函数的可导性与连续性的关系