[中考]2013年北京中考数学复习专题讲座十二：动点型问题二含答案.pdf

2013 2013 中考数学复习专题讲座十二 动点型问题（二） （双动点问题、考点四：因动点产生的最值问题） 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运 动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包 括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点 的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做 好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是 动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点三：双动点问题 动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的 双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能 力要求更高高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程, 并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动. （一）以双动点为载体，探求函数图象问题 1 1 例11 （2012•荆门）如图（1）所示，E为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P、Q 同时从 点B 出发，点P 沿折线BE﹣ED﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止， 2 它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ 的面积为ycm ．已知y 与t 的 函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5； 2 ②cos∠ABE= ；③当0＜t≤5时，y= t ；④当t= 秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的 结论是 （填序号）． 思路分析： 根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P 到达点 E时点Q 到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N 是从5秒到7秒，可得ED 的长度，然后表示出AE 的长度，根据勾股定理求出AB 的长度，然后针对各小题分析解答 即可． 解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q 到达点C， ∵点P、Q 的运动的速度都是1cm/秒， ∴BC=BE=5， ∴AD=BE=5，故①小题正确； 又∵从M到N 的变化是2， ∴ED=2， ∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3， 在Rt△ABE 中，AB= = =4， ∴cos∠ABE= = ，故②小题错误； 过点P 作PF⊥BC 于点F， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠PBF， ∴sin∠PBF=sin∠AEB= = ， ∴PF=PBsin∠PBF= t， 2 ∴当0＜t≤5 时，y= BQ•PF= t• t= t ，故③小题正确； 当t= 秒时，点P在CD上，此时，PD= ﹣BE﹣ED= ﹣5﹣2= ， PQ=CD﹣PD=4﹣ = ， ∵ = ， = = ， ∴ = ， 又∵∠A=∠Q=90°， ∴△ABE∽△QBP，故④小题正确． 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 点评： 本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q 到达点 C 是解题的关键，也是本题的突破口． （二）以双动点为载体，探求结论开放性问题 2 2 例22 （2012•广元）如图，在矩形ABCD 中，AO=3，tan∠ACB= ．以O为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设D、E分别是线段AC、OC 上的动点，它们同 时出发，点D 以每秒3 个单位的速度从点A 向点C 运动，点E以每秒1 个单位的速度从点 C 向点O 运动．设运动时间为t