函数值的预测模型.docVIP

2011年河南科技大学数学建模选拔赛 E题 已知x,f(x)和u(x)的关系为：，现在实验室内观察到x和u（x）的值如下表，试根据观察数据估计表中每个x对应的f（x）的值，并对估计结果进行评价。 x u(x) f(x) 0.45 72.55 　 7.72 65.72 　 14.61 62.15 　 24.14 58.02 　 29.7 55.85 　 35.98 52.29 　 44.56 48.08 　 47.45 46.62 　 53.48 42.65 　 54.4 41.63 　 61.16 37.9 　 63.64 36.4 　 64.51 35.37 　 70.47 32.99 　 72.49 31.84 　 72.56 31.44 　 75.07 30.57 　 78.38 29.34 　 80.95 28.11 　 89.72 25.22 　 89.81 25.11 　 90.81 24.57 　 90.94 24.42 　 91.41 24.7 　 96.66 23.02 　 96.68 23.09 　 97.18 22.78 　 100 22.03 　 2011河南科技大学第八届大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从B/E中选择一项填写）：E 题目： 参赛队员： 　 姓名 专业班级 所在学院 电话（手机） 是否报名全国竞赛 队长 *** 机设091 机电学院 1523619**** 是 队员1 *** 机设091 机电学院 1523619**** 是 队员2 *** 信计091 数学学院 1523619**** 是 函数值的预测模型 摘要 本文就预测函数值的问题，根据题目中的条件和要求，在合理的假设下，建立三个模型。模型一为采用插值法的方法，利用MATLAB编程软件绘出随变化的图像及求出对应表达式；模型二为采用曲线拟合的方法，通过机理分析找出的拟合曲线表达式；模型三是分析由模型一与模型二所确定的表达式的误差，找出最优的的表达式，最终根据确定的的表达式及求出相应的的表达式，进而求出的对应值。 对于模型一，我们采用插值法利用MATLAB软件编程绘制出的图像并找出的表达式。 对于模型二，我们采用曲线拟合的方法，分别用双曲线（一支）及指数函数式进行拟合，分析找出拟合曲线图像，并得出相应的曲线表达式；然后用MATLAB软件绘出双曲线（一支）及指数函数的图像，可以看出指数函数优于双曲线（一支），但由图像又可以观察到指数函数在前段拟合不是很好，我们还观察到前段点的分布近似直线分布，所以对于前段我们采用直线来拟合，以x=24.14为分界点，后段仍采用指数函数来拟合。最终确定优化的的拟合曲线为一分段函数，其表达式为：。 对于模型三，我们对模型一和模型二得出的表达式采用最小二乘准则进行误差分析，得出误差的平方和为 =，误差的平方和，误差小于的误差，从而采用的函数表达式来代近似替的表达式。根据变形式求出的表达式：。通过对这三个模型的求解，最终找出每个对应的的值。 最后文章根据模型分析的结果，给出误差分析及合理的改进分案。 关键字：MATLAB软件 插值法 曲线拟合 误差分析 最小二乘准则 问题重述 已知,和的关系为：，现在实验室内观察到和的值如下表，试根据观察数据估计表中每个对应的的值，并对估计结果进行评价。 问题分析 由数据估计表可知，随的变化而变化，通过变形可知。 为此，我们可以采用插值法，利用MATLAB软件编程绘出随变化的图像，并得到用插值法得出的表达式。 我们还可以根据曲线拟合的方法来求解。首先，我们找到两种与变化趋势相近的曲线，这里我们采用双曲线（一支）及指数方程曲线来拟合。将 曲线化为直线形式，利用MATLAB软件求出相应系数，从而求出曲线方程， 由图像可知指数函数优于双曲线（一支）函数，从而选用指数函数拟合曲线， 但由图像可以看出指数函数在前一部分拟合度不是很好，我们还观察到前一 部分点的分布近似直线分布，所以对于前一部分我们采用直线来拟合。最终 找出的分段函数图像，其表达式为=,则绝大部分都落在所得到的拟合曲线上，故在给定的的范围内可以用该拟合曲线的表达式表