§2.1.3-1--基本等价公式.pptVIP

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2018-03-07 发布于河北
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§2.1.3-1--基本等价公式

基本等价公式四、基本等价公式设Ｇ，Ｈ，Ｓ是任意的公式，则： ⑴Ｅ1：(Ｇ?Ｈ)＝(Ｇ→Ｈ)∧(Ｈ→Ｇ) (等价） ⑵Ｅ2：(Ｇ→Ｈ）＝（┐Ｇ∨Ｈ）。 (蕴涵） (以上的非常重要！要记注。以下的可以与集合论的相关内容联系，巧记！) ⑶Ｅ3：Ｇ∨Ｇ＝Ｇ。（幂等律）Ｅ4：Ｇ∧Ｇ＝Ｇ。 ⑷Ｅ5：Ｇ∨Ｈ＝Ｈ∨Ｇ。（交换律）Ｅ6：Ｇ∧Ｈ＝Ｈ∧Ｇ。 ⑸Ｅ7：Ｇ∨(Ｈ∨Ｓ)＝(Ｇ∨Ｈ)∨Ｓ (结合律) Ｅ8：Ｇ∧(Ｈ∧Ｓ)＝(Ｇ∧Ｈ)∧Ｓ ⑹Ｅ9：Ｇ∨(Ｇ∧Ｈ)＝Ｇ。(吸收律) Ｅ10：Ｇ∧（Ｇ∨Ｈ）＝Ｇ。 ⑺Ｅ11：Ｇ∨(Ｈ∧Ｓ)＝(Ｇ∨Ｈ)∧(Ｇ∨Ｓ) Ｅ12：Ｇ∧(Ｈ∨Ｓ)＝(Ｇ∧Ｈ)∨(Ｇ∧Ｓ) （分配律） ⑻Ｅ13: Ｇ∨０＝Ｇ。（同一律）Ｅ14：Ｇ∧１＝Ｇ。Ｅ15：Ｇ∨１＝１。（零律）Ｅ16：Ｇ∧０＝０。 ⑼Ｅ17：Ｇ∨┐Ｇ＝１。（排中律）Ｅ18：Ｇ∧┐Ｇ＝０。（矛盾） ⑽Ｅ19：┐(┐Ｇ)＝Ｇ。（双重否定律） ⑾Ｅ20：┐（Ｇ∨Ｈ）＝┐Ｇ∧┐Ｈ。Ｅ21：┐（Ｇ∧Ｈ）＝┐Ｇ∨┐Ｈ。（DeMorgan定律）对于任何一个公式Ｇ，可根据如上的基本等价公式及代入定理和替换定理，在等价的意义下，对其进行推演，从而得到Ｇ的各种等价形式。同时注意与集合论的相关内容联系！这一点非常重要！例2.1.2.9：试用较少的开关设计一个与下图有相同功能的电路。利用基本等价公式，将上述公式转化为： (Ｐ∧Ｑ∧Ｓ)∨(Ｐ∧Ｒ∧Ｓ) ＝((Ｐ∧Ｓ)∧Ｑ)∨((Ｐ∧Ｓ)∧Ｒ) ＝（Ｐ∧Ｓ）∧（Ｑ∨Ｒ）。所以其开关设计图可简化为：例2.1.2.10：将下面ALGOL-60语言写成的一般程序化简：If A then if B then X else Y else if B then X else Y。解：将该程序用下图的程序流程图表示如下图2.1.2.10。从框图可知：执行X的条件为：（Ａ∧Ｂ）∨（┐Ａ∧Ｂ）＝（Ａ∨┐Ａ）∧Ｂ＝Ｂ执行Y的条件为：（Ａ∧┐Ｂ）∨（┐Ａ∧┐Ｂ）＝（Ａ∨┐Ａ)∧ ┐Ｂ＝┐Ｂ经转换后，这段程序可简化： If B then X else Y，其流程图如图2.1.2.5。图2.1.2.5 例2.1.2.11：试将下图所示之逻辑电路简化。利用基本等价公式转化为： ((Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ))∧(Ｑ∨Ｒ) ＝(Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ))∧(Ｑ∨Ｒ) ＝Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)。所以该电路图可简化为：例2.1.2.12：证明Ｐ∨┐((Ｐ∨┐Ｑ)∧Ｑ)是永真公式。证明：Ｐ∨┐（（Ｐ∨┐Ｑ）∧Ｑ）＝Ｐ∨┐（Ｐ∨┐Ｑ）∨┐Ｑ＝（Ｐ∨┐Ｑ）∨┐（Ｐ∨┐Ｑ）＝Ｔ。四、基本等价公式 ⑴Ｅ1:(Ｇ?Ｈ)＝(Ｇ→Ｈ)∧(Ｈ→Ｇ) (等价) ⑵Ｅ2：(Ｇ→Ｈ)＝(┐Ｇ∨Ｈ)。（蕴涵）其余的有以下对应关系： ∪（并）------- ∨（析取）； ∩（交）--------∧（合取）； ?（空集）-------0（假）； I（全集）--------1（真）