§8.5-Z变换的基本性质.pptVIP

§8.5 z变换的基本性质 (二)位移性 证明双边z变换的位移性 例题 解续 例8-5-4 解：因为 求nanu(n)的z变换X(z)。 返回 所以 例8-5-5 解： 收敛域： 同理： 返回 例8-5-6 解： 另外，因为分子比分母低一次，所以x(0)=0。 返回 例8-5-7 收敛域：|z|max(a,b) 解： 由Y(z)求y(n) 返回 例8-5-8 返回 利用z域卷积定理求nanu(n)的z变换(0a1)。 解： 1 O Rev jImv c 由z域卷积定理知： ROC为|v|1与|z/v|a的重叠区域，即要求1|v| |z/a|。因为|z|1， |a|1，所以围线C只包围一个二阶极点v=1，如图所示。 返回 （一）线性 （二）位移性 （三）序列线性加权 （四）序列指数加权 （五）初值定理 （六）终值定理 （七）时域卷积定理 （八）序列相乘（z域卷积定理）* 一、z变换的基本性质 （九）复序列的共扼* （十）时间反转* （十一）帕斯瓦尔定理* 二、序列z变换的求法 (一)线性 ROC：一般情况下，取二者的重叠部分 某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。 (叠加性和均匀性） 返回 例8-5-1 例8-5-2 其中a,b为任意常数。 1.双边z变换 2.单边z变换 (1) 左移位性质 (2) 右移位性质 返回 由于序列有{左移、右移}两种不同情况， 其变换形式有{双边、单边}z变换之分； 其位移特性基本相同，但又各具不同的特点。 所以分情况讨论： 根据移位特性，可求周期序列的z变换 原序列不变，只影响在时间轴上的位置。 若序列x(n)的双边z变换为Z [x(n)]=X(z), 则其右移后的z变换为Z [x(n-m)]= z -m X(z) 1．双边z变换的位移性质 同理，左移后的z变换为:Z [x(n+m)]= zm X(z) 返回 根据双边z变换的定义可得 令n-m=k，则 返回 同理，可证左移序列。 可以看出：1）序列位移只会使z变换在z = 0或 z = ￥ 处的零、极点发生变化； 2）位移不会使z变换的收敛域发生变化； 2．单边z变换的位移性质 x(n-m)u(n),x(n+m)u(n)较x(n)u(n)的长度有所增减。 若x(n)为双边序列，其单边z变换为 返回 (1)左移位性质 其中m为正整数 返回 对于m=1、2的情况，可以写作为 证明左移位性质 根据单边z变换的定义，可得 返回 (2)右移位性质 而左移位序列的单边z变换不变。 例8-5-3 返回 其中m为正整数 对于m=1、2的情况，可以写作为 则右移位序列的单边z变换为 注意：对于因果序列x(n), 项都等于零， 证明右移位性质 根据单边z变换的定义，可得 返回 周期序列的z变换 若周期序列x(n)的周期为N，即x(n)= x(n+N)。 令第一个周期的序列为x1(n)，其z变换为： 由于x(n)=x1(n)+ x1(n-N)+ x1(n-2N)+…… 所以X(z)=X1(z)[1+z-N +z-2N +……]= 要使几何级数收敛，必须使|z-N|1，即|z|1 所以 X(z)= 返回 (三)序列线性加权（z域微分） 共求导m次 返回 例8-5-4 两边对z求导数，得 若 则 因为 所以 (四)序列指数加权 同理 证明： （z域尺度变换） 返回 例8-5-5 若 则 （a为非0常数） 例如：对于(-1)nu(n)若取单边z变换应有： (五)初值定理 推理 x(1)＝？ 理解：把X(z)在z足够大时的动态特性与x(n)的初值 联系起来。 返回 例8-5-6 若 x(n)为因果序列，已知X(z)=Z[x(n)]= 则 证明： (六)终值定理 注意：当n? ￥ , x(n)收敛，才可用终值定理。 若 x(n)为因果序列，已知X(z)=Z[x(n)]= 则 证明：因为 取z?1的极限 所以 终值存在的条件 ???(1) X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值; 例： ，终值为0 (2)若极点位于单位圆上,只能位于z=1,并且是一阶极点。 利用初、终值定理，在已知序列x(n)的 z变换X(z)的情况下，不求逆变换，可方便地求初值x(0)和终值x(￥ ) 。 例：u(n)，终值为1 注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件 只有第一条。 无 无 有，1 有，0 返回 (七)时域卷积定理 收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分 即 描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域两