利用函数性质判定方程解的存在2012、11、1.pptVIP

利用函数性质判定方程解的存在 复习回顾 我们在初中学过利用判别式判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况,一般说来有三种情况: △0 有两个不等的实数根 △=0 有两个相等的实根 △0 无实根 你能说出3x=x2解的情况吗? 例1 判断方程x2-x-6=0解的存在. 解 考察函数f(x)=x2-x-6,其图像为抛物线 -6 6 14 y x 4 -4 O C A f(0)=-6 f(-4)=14 f(4)=6 f(0)0, f(4)0, f(-4)0 图像为连续曲线 f(x1)=0 f(x2)=0 方程x2-x-6=0(-4,0)、(0,4)内各有一解 B x1 x2 一、函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. 如果函数y=f(x)在实数a处的函数值等于零,即f(a)=0,则称a为这个函数的零点. 方程f(x)=0的实数根叫做函数y=f(x)的零点 零点个数就决定了相应方程实数解的个数. 二、函数零点存在性的判定方法 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点处的函数值符号相反，即(f(a)·f(b)0)则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数解。 注意： ★该判定方法只是指出了方程实数解的存在,但不能判断具体有多少个实数解. y x O x1 x2 x3 f(a)0 f(b)0 y x O 注意： ★★若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且在(a,b)上有零点，但不一定满足f(a) ·f(b)0 x1 f(a)0 f(b)0 注意： ★★★若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且f(a)·f(b)0，则f(x)在(a,b)内也可能存在零点。 y x O f(a)0 f(b)0 x1 x2 例2 已知函数f(x)=3x-x2.问:方程f(x)=0在区间[-1,0]内有没有实数解?为什么? 解 因为f(-1)=3-1-(-1)2= 0 f(0)=30-(0)2=1 0 函数f(x)=3x-x2的图像是连续曲线,所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解. 例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2. y x 2 5 -1 O 解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物线, 所以抛物线与横轴在(5,+∞)内有一交点,在(-∞,2)内也有一个交点. 方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2 x1 x2 1.观察下面的四个函数图像,指出在区间(-∞,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解?说明理由. 堂上练习 2.判定方程4x3+x-15=0在[1,2]内实数解的存在性,并说明理由. 堂上练习 3.指出下列方程存在实数解,并给出一个实数解的存在区间: 本节课主要掌握两个方面的内容： (1)利用函数的性质判定方程解的存在性； (2)初步了解一元二次方程根的分布的有关知识。 小结 作业：P119，A组1、2