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(1) (2) (3) 若原像 (4) 若像 线性相关， 则像 也线性相关. （像无关，则原像也无关） 线性无关， 则原像 也线性无关. 线性映射性质： 引理3. 设 是线性映射， （1）若 线性相关，则 也线性相关 （2）若 线性无关，则 也线性无关 例. 设 是数域 上次数小于 的多 项式集合 则 是R上的n维线性空间. 设 是 n 个互异的数， 令 这里记号 表示删除一个因子，即 令 (1)证明： 是 中一组基 （2）求基 到 的换基公式（过渡阵） (1) 解法：先引入映射φ: 使得： 显然可知φ是线性映射 φ: 是线性映射.对每个j=1,…,n有 　　　 其中 ej 表示Rn中第j个单位向量 为线性无关 由引理3得 g1,…,gn 一定线性无关(构成基元) (2)解：设基 到基 的过渡矩阵为 P ，则有换基公式: 两边用映射φ作用(由引理2的齐性公式)得 （*） 因此 简记过度阵： 注：把 代入换基公式（*）， 可得下列公式 Newton公式： （1） （2） 过度阵为 注：把 P 回代入换基公式(*): Newton公式： （1） （2） 推论：对任一 阶方阵 ， 如前 ，则有 （1） （2） 注：若 阶方阵 的极小多项式为 （无重根），则由矩阵 的谱理论可知上结论（2）正是谱分解公式 1.先引入“基元与广元”； 2.用“分块乘法”建立“基元与广元公式” 3. 用“广元公式”简化主要公式与结论 总结: 广元公式 广元概念 1.一组元素 X1, X2 …,Xn 叫广元 (组)，记 例如，下列是2个广元(或基元) 记号: 广元行：[X] = [ X1, X2, … , Xn ] (有次序) 2.若 广元 (不定元) X1 , … ,Xn 线性无关, 则称广元 X1 , … ,Xn 为“基本元” ，记为 基： [X] = [ X1, X2, … , Xn ] (有序) 例如：设广元 用分块乘法可写“广元公式”： 又如： 设 可写公式： （#） 可写成“广元公式”： (1) 设广元 即 其中 Ｂ＝(ｂｉｊ)． 记为 [Ｗ１,…, ＷＰ] = [ Ｖ1, … , Ｖn ]Ｂ 简化公式： [ W ] = [ V ] B （叫系数阵） 记为广元公式： 满足“分块乘法”： 简化公式： [ W ] = [ V ] B “广元法则”：“广元在左，系数在右” 注意：广元 Ｖ1,…..Ｖn 之间含有加法与倍数运算 广元公式：若广元w1, …,wP“被”v1,…,vn‘‘表示” 则有广元公式: [ W ]=[ V ]B (简写)， 或 叫做“广元公式” (“被表示”公式) 广元法则： (1)“广元在左，系数在右” (2)“广元在左，矩阵在右” (3) 公式符合“分块乘法” [Ｗ１,…, ＷＰ] = [ Ｖ1, … , Ｖn ]Ｂ (1) 广元公式特例： 例1：设 因为 可写公式： （#） 例2：设有线性组合：(甲)=3(红)+7(白) (乙)=4(红)+6(白)，可写“广元公式”： [(甲),(乙)]＝[(红),　(白)] 引理1：“广元法则”(也叫被表示公式) (1) “线性表示”必有“广元公式” (2)