单位圆的对称性与you导公式.pptVIP

* * * * * * * * * * 4.4 单位圆的对称性与 诱导公式 在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ+α)＝sinα (k∈Z )，通过这个公式能把任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值吗？ 如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以转化为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题． 1.理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程.（重点） 2.能了解诱导公式之间的关系，能相互推导.（重点） 3.能利用诱导公式解决化简、求值等问题.（难点） 探究点1 角α与角-α的正弦函数、余弦函数关系 思考1：对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边有什么关系？ y α的终边 x O -α的终边 关键看两角的对称关系 思考2：设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y）， 则-α的终边与单位圆的交点坐标如何？ y α的终边 x O -α的终边 P(x,y) P(x,-y) 提示：如图， -α的终边与单位圆的交点坐标为P（x，-y）. 公式： 思考3：根据三角函数定义，－α的正弦函数、余弦函数与α的正弦函数、余弦函数有什么关系？ y α的终边 x O -α的终边 P(x,y) P(x,-y) 结论： 正弦函数y=sinx是奇函数 余弦函数y=cosx是偶函数 α的终边 x y O α±π的终边 探究点2 角α与角α±π的正弦函数、余弦函数关系 思考1：对于任意给定的一个角α，角α±π的终边与角α的终边有什么关系？ 提示：如图 角α±π的终边与角α的终边关于原点对称 思考2：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角α±π的终边与单位圆的交点坐标如何？ α的终边 x y O α±π的终边 P(x，y) Q(-x，-y) 提示： 坐标互为相反数 思考3：根据三角函数定义，sin（ α±π ） ， cos（ α±π ）的值分别是什么？ α的终边 x y O α±π的终边 P(x，y) Q(-x，-y) sin(α±π)=-y cos(α±π)=-x 思考1：利用π-α= π+（-α），结合上述公式，你能得到什么结论？ 探究点3 角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系 这两个公式也可以由前两组公式推出： 提示：-α， α± π ，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，再放上原函数的象限符号. 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀． 思考2：以上公式都叫作诱导公式，它们分别反映了－α， α± π，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？ 诱导公式作用：转化为 0°～90°的角 例1　求下列各角的三角函数值： 解： 一般步骤：变号 转化 求值 探究点4 角α与 的正弦函数、余弦函数关系 如图，利用单位圆作出任意锐角α与单位圆相交 于点 角 的终边与单位圆交于点P′， 由平面几何知识可知, 思考：如何得到下列两个等式 以上两组诱导公式口诀:“函数名改变,符号看象限.” 提示: 对于任意角α，下列关系式成立： （1.8） （1.9） （1.10） （1.11） （1.12） （1.13） （1.14） 公式1.8～1.14叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式. 任意负角的正弦函数、余弦函数 任意正角的正弦函数、余弦函数 0～2 角的正弦函数、余弦函数 锐角的正弦函数、余弦函数 用公式1.8或1.9 用公式1.8 用公式1.10～1.14 例2 求下列函数值： 例3 化简 解：原式 1.求下列三角函数值： 2.求sin(-60°)+cos120°+sin390°+cos210°. 解：sin(-60°)+cos120°+sin390°+cos210° =-sin60°+cos(180°-60°)+sin(360°+30°) +cos(180°+30°) =-sin60°-cos60°+sin30°-cos30° = 3. 已知cos( +?)= ,且?是第二象限角, 求sin(?- )的值. 解： 因为?是第二象限角， 所以 理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程. 能了解诱导公式之间的关系，能相互推导. 能利用诱导公式解决化简、求值等问题. 回顾本节课的收获 把希望建筑在意欲和心愿上面的人们， 二十次中有十九次都会失望. ——大仲马 * * * * * * * * * * * * * * * *