基本不等式的性质以及初步应用.pptVIP

* 基本不等式的应用 一、复习引入： 1.重要不等式： 2.定理： 3.公式的等价变形： 例1.已知x、y都是正数，求证： (1)如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值 (2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 证明：因为x,y都是正数，所以 (1)积xy为定值P时，有 上式当 x=y 时，取“=”号， 因此，当 x=y时，和 x+y有最小值 (2)和x+y为定值S时，有 上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值 二、讲解范例： (1)两个正数的和为定值，其积有最大值. (2)两个正数的积为定值，其和有最小值. 但应注意三个方面： ⅰ)函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； ⅲ)等号成立条件必须存在. 一正，二定，三相等 结论:利用均值定理求最值 例2.若x0，y0，且x+y=2，求x2+y2的最小值 解：∵x2+y2?2xy， ∴2(x2+y2)?(x+y)2 ∵x+y=2， ∴x2+y2?2 即x2+y2的最小值为2 当且仅当x=y=1时取得最小值 1．求函数y=(1?3x)x (0x )的最大值． 2求函数 的最大值 3．求函数 的最大值 练习 例3. 求函数y= (x0)的最小值，并求相应的x的值 解： ∵ x?0，∴ x+10， 由x+1= 得x=0 (x?0)有最小值，最小值是y=1 ∴当x=0时y= 例4.求函数 的最大值 当且仅当 时取得最大值 (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. 解：∵x，y都是正数 ∴ x＋y≥2 0 ∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0 x2＋y2≥2 0 x3＋y3≥2 0 ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥ ＝８x3y3 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. 2 ·2 ·2 （当且仅当x=y时，式中取等号） （当且仅当x=y时，式中取等号） 随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理： （a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. 解：∵a，b，c都是正数 b＋c≥2 ＞0 c＋a≥2 ＞0 ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥ 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc. =8abc ∴a＋b≥2 0 2 ·2 ·2 (当且仅当a=b=c时，上式取等号） 例. 最值定理： (1)和定 - -积最大. (2)积定 - -和最小. 一正；二定； 三相等. 例5.有一根长4a的铁丝,如果围成一个矩形; 求:围成图形面积最大值： 解:(1)设矩形的长为x, 那么宽为2a-x (2)面积S=x(2a-x) (3)当x=a时，矩形面积S最大=a2 你还有什么 不同的方法吗？ *