2015年三年高考数学(文)真题精编——专题03 导数(大题).docVIP

三、解答题 29. 【2015高考四川，文21】已知函数f(x)＝a0. (Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性； (Ⅱ)证明：存在a∈(0，1f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解. 【解析】(Ⅰ)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞) g(x)＝f (x)＝2(x－1－lnx－a) 所以g(x)＝2－ 当x∈(0，1)时，g(x)＜0，g(x)单调递减 当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0，g(x)单调递增 【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想. 30. 【2013课标全国，文20(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． ， 由题设知，解得. （2）的定义域为，由（1）知，， （ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增， 所以，存在，使得的充要条件为，即， 所以. 35. 【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数. （I）讨论的导函数的零点的个数； （II）证明：当时. 【答案】（I）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（II）见解析 【解析】 试题分析：（I）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质即可判断出零点个数II）由（I）可设在的唯一零点为，根据的正负即可判定函数的图像与性质求出函数的最小值即可证明其最小值不小于即证明了所证不等式I）的定义域为，. 当时,，没有零点； 当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点. 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力. 36. 【2014年.浙江卷.文21】（本小题满分15分） 已知函数，若在上的最小值记为. （1）求； （2）证明：当时，恒有. 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）因为，对实数分类讨论，①，②，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的值，再用分段函数表示；（2）构造函数，对实数分类讨论，①，②，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的最大值，即可证明当时恒有成立. （2）令， ①当时，， 若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以， 故. 若，，则，所以在上是减函数， 所以在上的最大值是， 令，则， 所以在上是增函数，所以即， 故， ②当时，，所以，得， 此时在上是减函数，因此在上的最大值是， 故， 综上所述，当时恒有. 考点：函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性. 37. 【2013年.浙江卷.文21】(本题满分15分)已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若|a|＞1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值． 【答案】(1) y＝6x－8. (2) f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)＝ 40. 【2015高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数. （1）当时，求函数在上的最小值的表达式； （2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) (2)设为方程的解，且，则. 由于，因此. 当时，， 由于和， 所以. 【考点定位】1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想. 43. 【2013高考重庆文第20题】(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 又据题意200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝(300－4r2)， 从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)． 因r＞0，又由h＞0可得， 故函数V(r)的定义域为(0,)． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间，单调递减区间， 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由， 而曲线在点处的切线垂直于，所