2016年数学理高考真题分类汇编：专题02 导数(理科).docVIP

导数 1. 【2016高考山东理数】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义. 【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等. 2.【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( ) （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 【答案】A 【解析】 试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，，，．故选A． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点坐标，由两直线相交得出点坐标，从而求得面积，题中把面积用表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用． 3.【2016高考新课标2理数】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【解析】 考点： 导数的几何意义. 【名师点睛】函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的不同． 4.【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，，则曲线在 点处的切线方程是_______________． 【答案】 考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义． 【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为． 5.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数有两个零点. (I)求a的取值范围； (II)设x1,x2是的两个零点,证明：. 【答案】 【解析】 试题分析：(I)求导,根据导函数的符号来确定,主要要根据导函数零点来分类；(II)借组第一问的结论来证明,由单调性可知等价于,即．设,则．则当时,,而,故当时,．从而,故．学优高考网 试题解析;（Ⅰ）． （i）设,则,只有一个零点． （ii）设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增． 又,,取满足且,则 , 故存在两个零点． （iii）设,由得或． 若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点． 若,则,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时,,所以不存在两个零点． 综上,的取值范围为． （Ⅱ）不妨设,由（Ⅰ）知,,在上单调递减,所以等价于,即． 由于,而,所以 ． 设,则． 所以当时,,而,故当时,． 从而,故． 考点：导数及其应用 【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解. 6.【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知. （I）讨论的单调性； （II）当时，证明对于任意的成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】 试题分析：（Ⅰ）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性； （Ⅱ）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解. （1），， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减； （2）时，，在内，，单调递增； （3）时，， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增； 当时，在内单调递增； 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，时， ，， 令，. 则， 由可得，当且仅当时取得等号. 又， 设，则在单调递减， 因为， 所以在上存在使得 时，时，， 所以函数在上单调递增；在上单调递